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第1篇 高等数学1

第1章 函数、极限和连续1

1.1函数1

一、函数的基本概念1

二、函数的基本性质4

三、反函数、隐函数和复合函数7

四、分段函数11

五、初等函数11

1.2极限13

一、数列的极限13

二、函数的极限16

三、无穷小、无穷大和无穷小量阶的比较22

1.3函数的连续性与间断点25

一、函数的连续性25

二、间断点27

三、闭区间上连续函数的性质28

习题一30

第2章 导数与微分33

2.1导数与微分33

一、基本概念、性质和定理33

二、导数公式和运算法则36

三、反函数、复合函数和隐函数的求导法则37

四、微分38

五、高阶导数39

六、参数方程？x=ψ（t） y=ψ（t）所确定的函数的导数41

2.2各种函数的导数的解法42

一、幂指函数的导数42

二、函数表达式为若干因子连乘积或商形式的函数的导数或微分的求法43

三、分段函数的导数43

2.3重要结论44

习题二45

第3章 微分中值定理和导数的应用47

3.1微分中值定理47

一、罗尔定理47

二、拉格朗日中值定理和柯西中值定理50

三、泰勒定理53

3.2洛必达法则54

一、0/0未定式54

二、∞/∞型未定式55

三、其他未定式∞—∞，0·∞，1∞，∞0，0 0的计算57

3.3导数的应用58

一、过定点的曲线的切线和法线方程58

二、函数单调性的判别59

三、函数的极值和最值60

四、曲线的凹凸性和拐点62

五、曲线的渐近线63

六、函数作图及函数图形与其导函数图形的关系64

七、曲率65

习题三67

第4章 不定积分70

4.1不定积分的基本概念和性质70

一、原函数和不定积分的概念70

二、基本积分公式72

三、不定积分的基本运算法则73

4.2不定积分的计算方法74

一、不定积分的换元积分法74

二、不定积分的分部积分法78

4.3各种函数的不定积分80

一、有理函数的不定积分80

二、三角函数有理式∫R（sin x， cos x）dx的不定积分81

三、含无理式的不定积分84

四、分段函数的不定积分86

五、复合函数的不定积分87

习题四87

第5章 定积分和反常积分90

5.1定积分的概念和性质90

一、定积分的概念90

二、定积分的性质91

5.2定积分的计算94

一、微积分基本公式94

二、定积分的换元法和分部积分法96

三、定积分计算中的常用公式98

四、分段函数的定积分100

五、杂例101

5.3反常积分及计算102

一、无穷区间上的反常积分102

二、无界函数的反常积分（或瑕积分）103

三、计算反常积分的步骤104

5.4定积分的应用105

一、微元法105

二、平面图形的面积106

三、旋转体的体积107

四、旋转体的侧面积108

五、已知截面面积的立体的体积109

六、平面曲线的弧长109

七、一元积分在物理上的应用110

习题五111

第6章 向量代数与空间解析几何114

6.1向量代数114

一、向量概念及坐标表示114

二、向量的运算115

三、两个向量的关系117

6.2空间平面方程和空间直线方程118

一、平面方程的几种形式118

二、空间直线方程的几种形式119

三、平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系119

四、平面方程和直线方程的计算121

6.3曲面方程与空间曲线方程125

一、曲面方程基本概念125

二、空间曲线方程125

三、柱面125

四、投影曲线127

五、旋转曲面129

六、二次曲面130

习题六132

第7章 多元函数微分学及应用135

7.1多元函数、极限和连续135

一、多元函数的概念135

二、二元函数的极限和连续136

7.2二元函数偏导数、全微分138

一、偏导数138

二、全微分140

7.3多元复合函数和隐函数微分法144

一、多元复合函数微分法144

二、多元隐函数微分法148

7.4多元函数的极值、条件极值和最大值、最小值150

一、基本概念和定理150

二、极值的求法151

7.5空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线（数二不作要求）154

一、空间曲线的切线和法平面154

二、曲面的切平面和法线154

习题七155

第8章 重积分158

8.1二重积分158

一、二重积分的概念158

二、二重积分的基本性质159

三、二重积分的计算161

四、分段函数的二重积分167

8.2三重积分（数二不作要求）169

一、概念169

二、直角坐标系下三重积分的计算169

三、柱坐标系下三重积分的计算171

四、球坐标系下三重积分的计算172

五、利用对称性或轮换对称性化简三重积分173

8.3重积分的应用174

一、求体积174

二、求曲面面积176

三、求薄片或形体的质量、质心的坐标、转动惯量、引力176

习题八177

第9章 曲线积分与曲面积分180

9.1曲线积分180

一、对弧长的曲线积分180

二、对坐标的曲线积分184

三、两种曲线积分的关系187

四、格林公式及其应用188

9.2曲面积分191

一、对面积的曲面积分191

二、对坐标的曲面积分∫∫∑ P（x，y，z）dydz +Q（x，y，z） dzdx+R（x，y，z） dxdy193

三、两种曲面积分的关系196

四、高斯定理及其应用197

9.3场论初步199

一、方向导数199

二、梯度199

三、散度200

四、旋度200

五、通量200

习题九201

第10章 无穷级数204

10.1数项级数204

一、级数的概念204

二、正项级数收敛性的判别207

三、交错级数∞ Σ n=1 （—1）n—1u n，（un＞0）与莱布尼茨定理209

四、任意项级数∞ Σ n=1 un（un可正、可负、可0）的绝对收敛和条件收敛211

10.2幂级数213

一、函数项级数213

二、幂级数214

10.3傅里叶级数220

一、基本概念和定理220

二、傅里叶级数的展开220

习题十222

第11章 常微分方程225

11.1微分方程的基本概念225

一、微分方程225

二、常微分方程的解225

11.2一阶微分方程226

一、可分离变量的微分方程226

二、齐次方程226

三、一阶线性微分方程229

四、伯努利方程（数二不作要求）231

五、全微分方程（数二不作要求）231

11.3二阶线性微分方程233

一、线性微分方程解的性质和结构定理233

二、可降阶的微分方程234

三、常系数齐次和非齐次线性微分方程235

四、欧拉方程（数二不作要求）240

习题十一241

第2篇 线性代数243

第1章 行列式243

1.1行列式的概念243

一、排列与逆序243

二、n阶行列式定义244

三、特殊的行列式244

1.2行列式的性质和定理245

一、行列式的性质245

二、行列式按行（列）展开定理246

1.3行列式的计算247

1.4克莱姆法则251

习题一253

第2章 矩阵256

2.1矩阵的概念256

一、矩阵的概念和运算256

二、方阵的行列式259

2.2逆矩阵和伴随矩阵259

一、逆矩阵259

二、伴随矩阵260

2.3分块矩阵261

2.4初等变换263

一、初等变换263

二、初等矩阵263

三、矩阵的秩264

习题二267

第3章向量271

3.1向量271

一、基本概念和运算法则271

二、线性组合272

三、线性相关和线性无关272

四、向量组的等价274

五、向量组相关性的重要结论274

3.2向量组的秩275

一、极大线性无关组275

二、向量组的秩275

3.3向量空间276

一、向量空间的概念276

二、正交矩阵（数二不作要求）278

习题三280

第4章 线性方程组283

4.1高斯消元法283

一、基本概念283

二、高斯消元法（用初等变换求线性方程组的解）283

4.2线性方程组解的结构、性质和判定286

一、齐次线性方程组Am×nx = 0的基础解系286

二、齐次线性方程组Am×nx = 0的解判定定理、性质和结构定理288

三、非齐次线性方程组Am×nx = b的解的判定定理、性质和结构定理289

四、两个线性方程组解之间的关系291

4.3线性方程组在向量中的应用293

一、向量的线性相关性293

二、向量组的线性表示的问题294

习题四296

第5章 特征值与特征向量299

5.1特征值与特征向量299

一、基本概念299

二、基本性质299

三、计算特征值与特征向量300

5.2相似矩阵与矩阵的对角化302

一、基本概念和性质302

二、矩阵的相似对角化的步骤302

三、实对称矩阵的相似对角化304

习题五305

第6章 二次型309

6.1基本概念和性质309

一、二次型的定义309

二、合同变换和合同矩阵310

三、二次型的标准形与规范形311

四、矩阵的等价、相似和合同的结论316

6.2正定二次型317

习题六319

第3篇 概率论与数理统计322

第1章 随机事件与概率322

1.1基本概念与性质322

一、基本概念322

二、事件的概率和性质324

1.2古典概率326

一、古典概型326

二、几何概型328

1.3条件概率和三个概率计算公式329

一、条件概率329

二、三个概率计算公式330

1.4事件的独立性和贝努里概型332

一、事件的独立性332

二、贝努里（Bernoulli）概型334

习题一335

第2章 随机变量及其分布338

2.1基本概念和性质338

一、随机变量和分布函数338

二、离散型随机变量339

三、连续型随机变量343

2.2随机变量函数的分布345

一、离散型随机变量函数的分布345

二、连续型随机变量函数的分布347

习题二348

第3章 多维随机变量及其分布352

3.1基本概念352

一、二维随机变量的分布352

二、边缘分布353

3.2二维随机变量353

一、二维离散型随机变量353

二、二维连续型随机变量357

三、相互独立的随机变量360

3.3随机变量的函数分布Z = g（X，Y）362

习题三366

第4章 随机变量的数字特征372

4.1一维随机变量的数字特征372

一、数学期望和方差372

二、重要结论和公式374

三、由随机试验给出的随机变量的数字特征的计算375

4.2二维（多维）随机变量的数字特征376

一、两个随机变量函数的数学期望376

二、协方差、相关系数和矩376

三、二维随机变量及其函数的数字特征的计算377

四、利用（0—1）分布求多维随机变量数字特征384

习题四385

第5章 大数定律与中心极限定理388

5.1大数定律388

一、切比雪夫不等式388

二、大数定律389

5.2中心极限定理390

一、列维-林德伯格定理390

二、棣莫佛-拉普拉斯定理391

习题五393

第6章 样本与抽样分布395

6.1数理统计的基本概念和结论395

一、总体与样本395

二、统计量396

三、分位数397

6.2三个常用统计量分布：x2分布，t分布和F分布397

一、x2分布397

二、t分布397

三、F分布398

四、正态总体的抽样分布398

五、统计量的数字特征400

习题六402

第7章 参数估计与假设检验404

7.1参数的点估计404

一、基本概念404

二、矩估计法404

三、最大似然估计法405

四、估计量的性质407

7.2参数的区间估计409

一、置信区间409

二、正态总体的区间估计409

7.3假设检验413

一、基本概念413

二、常见正态总体的假设检验414

三、两类错误418

习题七418