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1 微积分的思想方法1

1.1 微积分思想的孕育1

1.1.1 欧多克索斯的“穷竭法”1

1.1.2 开普勒的“旋转体体积”2

1.1.3 卡瓦列里的“不可分量原理”3

1.1.4 笛卡尔的“圆法”4

1.1.5 费马的“极值法”5

1.1.6 巴罗的“微分三角形”6

1.2 牛顿的微积分思想8

1.2.1 科学巨擘牛顿8

1.2.2 “流数法”的初建10

1.2.3 “最初比与最终比方法”的确立15

1.3 莱布尼兹的微积分思想16

1.3.1 微积分思想发展过程16

1.3.2 微积分符号的创造20

1.3.3 微积分基本公式的建立20

1.4 牛顿与莱布尼兹微积分思想的比较23

1.4.1 两种思想方法的异同23

1.4.2 “优先权”之争对微积分发展的影响25

2 微积分思想方法的深化与发展28

2.1 微积分可靠性质疑28

2.2 以极限为核心的思想30

2.2.1 极限概念的雏形30

2.2.2 柯西的极限理论31

2.2.3 “ε-δ”语言的应用33

2.3 函数概念的深化35

2.4 向多元微积分推广39

2.5 无穷级数的思想方法41

2.5.1 级数思想方法的产生41

2.5.2 发散级数对级数思想方法的推动43

2.5.3 收敛理论的形成46

2.5.4 一致收敛与级数的分析性质47

2.5.5 傅立叶级数及其收敛定理48

2.6 常微分方程的思想方法52

2.6.1 常微分方程的思想源泉52

2.6.2 常微分方程的求解方法55

2.6.3 解的存在与惟一性定理58

3 解析几何与线性代数的思想方法61

3.1 平面解析几何的思想方法61

3.1.1 解析几何产生的时代特征61

3.1.2 笛卡尔的《方法论》62

3.1.3 费马的《轨迹引论》66

3.1.4 平面解析几何的完善68

3.2 空间解析几何的思想方法69

3.3 行列式和矩阵的思想方法72

3.3.1 行列式72

3.3.2 矩阵73

3.4 高斯与二次型理论76

3.5 四元数与向量代数80

4 概率论与数理统计的思想方法87

4.1 概率的古典定义87

4.1.1 帕斯卡和费马的“点问题”87

4.1.2 惠更斯的“数学期望”88

4.1.3 伯努利的“大数定理”89

4.1.4 蒲丰的“投针问题”90

4.1.5 贝叶斯公式91

4.1.6 拉普拉斯的“古典定义”92

4.2 概率的极限理论92

4.2.1 泊松及泊松分布93

4.2.2 棣莫弗—拉普拉斯定理94

4.2.3 林德贝格—勒维“中心极限定理95

4.3 概率论的公理化97

4.3.1 概率悖论97

4.3.2 概率论的公理化99

4.4 公理化后概率论的发展102

4.4.1 中心极限定理的推广102

4.4.2 随机过程研究103

4.4.3 鞅论与随机分析105

4.5 数理统计思想方法106

4.5.1 英国的数理统计思想方法106

4.5.2 美国的“序贯分析”理论109

4.5.3 多元分析理论的建立110

5 高等数学中的辩证思想方法113

5.1 直与曲113

5.2 常量与变量119

5.2.1 常量在一定条件下具有任意性119

5.2.2 常量与变量的相对性120

5.2.3 通过常量来刻划变量121

5.2.4 通过变量来研究常量124

5.3 连续与间断126

5.3.1 连续与间断是事物两种不同的性态126

5.3.2 连续与间断在一定条件下可以相互转化128

5.4 有限与无限130

5.4.1 有限与无限存在质的差异131

5.4.2 通过有限认识无限132

5.4.3 通过无限来表示有限134

5.5 抽象与具体135

5.5.1 高度抽象是数学的主要特征135

5.5.2 高度抽象使数学具有广泛应用138

5.6 局部与整体142

5.7 偶然性与必然性145

5.7.1 随机事件与必然事件145

5.7.2 蝴蝶效应与偶然性147

5.7.3 “混沌”并非完全无序150

5.7.4 “混沌”的度量151

5.7.5 偶然性与必然性的重新认识152

6 高等数学中蕴含的美学思想154

6.1 简单美155

6.1.1 符号简单156

6.1.2 形式简单159

6.1.3 结构简单160

6.1.4 方法简单161

6.2 对称美163

6.2.1 形式对称163

6.2.2 关系对称165

6.2.3 对称美方法的运用167

6.3 和谐美170

6.3.1 严谨是和谐的基础170

6.3.2 统一是和谐的标志172

6.4 奇异美177

7 中国高等数学思想的萌芽和发展182

7.1 线性方程组与矩阵182

7.2 极限思想188

7.2.1 割圆术189

7.2.2 弧田术191

7.3 积分思想193

7.3.1 “积幂成体”思想193

7.3.2 祖氏原理195

7.3.3 尖锥求积术199

7.4 级数理论201

7.4.1 等差级数201

7.4.2 等比级数204

7.4.3 幂级数205

7.5 解析几何的萌芽211

7.6 西方高等数学的传入214

7.7 初步的运筹思想217

7.7.1 在军事方面218

7.7.2 在运输方面219

7.7.3 在工程方面220

8 现代数学思想方法窥视221

8.1 非标准分析221

8.2 突变理论224

8.3 模糊数学227

8.4 分形几何230

8.5 计算数学234

8.6 21世纪的数学问题241

8.7 国际数学家大会与菲尔兹奖244

附录249

附录一：历届国际数学家大会简介249

附录二：历届菲尔兹奖获得者259