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第1章 微分方程基本概念与基本定理1

1.1 微分方程基本概念1

1.1.1 物理中的数学模型1

1.1.2 基本概念4

习题6

1.2 常微分方程应用举例7

习题12

1.3 解的存在性与唯一性13

习题19

1.4 解的延展与比较定理20

习题24

1.5 解对初值的连续依赖性24

1.6 解对初值的可微性27

习题30

第2章 初等积分法31

2.1 初等积分法31

2.1.1 分离变量法31

2.1.2 线性方程36

2.1.3 全微分方程与积分因子37

习题40

2.2 可化为初等积分法求解的方程43

2.2.1 隐式方程43

2.2.2 可降阶的高阶方程45

习题48

2.3 模型49

习题52

第3章 线性微分方程（组）53

3.1 线性方程组的一般理论53

3.1.1 一阶线性齐次微分方程组54

3.1.2 一阶线性非齐次微分方程组55

习题56

3.2 常系数线性微分方程组56

3.2.1 矩阵指数函数的定义和性质57

3.2.2 基解矩阵58

3.2.3 利用约当标准型求基解矩阵59

习题64

3.3 高阶线性方程65

3.3.1 高阶线性方程的一般理论66

3.3.2 常系数线性齐次方程的解法68

3.3.3 常系数线性非齐次方程的解法69

习题71

3.4 拉普拉斯变换72

习题74

3.5 高阶微分方程的应用74

3.5.1 机械振动74

3.5.2 LRC电路77

习题78

3.6 模型79

第4章 定性和稳定性理论简介81

4.1 稳定性概念81

4.2 李雅普诺夫第二方法84

习题88

4.3 平面自治系统的基本概念89

4.3.1 相平面、相轨线与相图89

4.3.2 平面自治系统的三个基本性质90

4.3.3 常点、奇点与闭轨92

4.4 平面定性理论简介92

4.4.1 初等奇点附近的轨线分布92

4.4.2 平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布101

4.4.3 极限环的概念102

4.4.4 极限环的存在性和不存在性103

第5章 应用微分方程模型简介106

5.1 人口与动物世界的微分方程模型106

5.1.1 进行开发的单种群模型106

5.1.2 无管理的鱼类捕捞模型107

5.2 传染病的微分方程模型109

5.2.1 传染病学基本概念111

5.2.2 传染病模型112

5.3 综合国力的微分方程模型117

5.3.1 数学建模117

5.3.2 数学分析118

5.3.3 社会意义119

5.4 作战模型120

5.4.1 Lanchester战斗模型120

5.4.2 常规战模型讨论122

第6章 常微分方程边值问题124

6.1 边值问题基本概念124

6.1.1 边值问题的提法124

6.1.2 边值问题的某些性质124

6.1.3 边值问题的可解性条件125

6.2 边值问题的解法128

6.2.1 待定常数法128

6.2.2 借助格林函数的求解法128

第7章 差分方程132

7.1 差分方程基本概念132

7.1.1 差分的概念132

7.1.2 差分的运算法则与差分公式133

7.1.3 阶乘函数134

7.1.4 差分方程的概念135

7.1.5 函数的求和问题136

7.2 线性差分方程139

第8章 偏微分方程142

8.1 偏微分方程的基本概念142

8.1.1 一般概念和记号142

8.1.2 偏微分方程与常微分方程的比较143

8.2 一阶偏微分方程145

8.2.1 完全积分、一般积分和奇异积分145

8.2.2 几类特殊的一阶偏微分方程146

8.2.3 一阶拟线性偏微分方程149

8.2.4 一阶偏微分方程组152

第9章 泛函微分方程157

9.1 问题的提出157

9.1.1 历史背景157

9.1.2 应用例子157

9.1.3 名称及其缩写163

9.1.4 若干注释164

9.2 分步法165

9.2.1 单滞量的情形165

9.2.2 多滞量方程的分步法167

参考文献169