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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限和连续1

第1节 重要概念、定理和公式的剖析1

一、函数的基本性质1

二、分段函数5

三、反函数5

四、复合函数6

五、初等函数9

六、函数的极限及其连续性9

七、重要公式和定理12

第2节 重要题型的解题方法和技巧19

题型一 未定式的定值法19

题型二 类未定式的计算23

题型三 数列的极限24

题型四 极限式中常数的确定（重点）29

题型五 函数连续或间断点的判定32

第3节 思维定势及综合题解析34

一、思维定势34

二、综合题解析38

习题一39

第二章 导数与微分43

第1节 重要概念、定理和公式的剖析43

一、导数与微分的定义43

二、重要定理45

三、导数与微分的运算法则45

四、基本公式45

五、弧微分与曲率46

六、高阶导数的定义与基本公式47

第2节 重要题型的解题方法和技巧47

题型一 求复合函数的导数或微分47

题型二 求参数方程的导数或微分49

题型三 求隐函数的导数或微分50

题型四 求幂指函数的导数或微分50

题型五 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分51

题型六 求分段函数的导数或微分51

题型七 求高阶导数52

第3节 思维定势及综合题解析56

一、思维定势56

二、综合题解析56

习题二59

第三章 不定积分62

第1节 重要概念、定理和公式的剖析62

一、不定积分的基本概念62

二、基本性质62

三、基本公式63

四、基本积分法64

第2节 重要题型的解题方法和技巧77

题型一 有理函数的不定积分77

题型二 简单无理函数的不定积分78

题型三 三角有理式的不定积分79

题型四 含有反三角函数的不定积分83

题型五 抽象函数的不定积分83

题型六 分段函数的不定积分84

第3节 思维定势及综合题解析85

一、思维定势85

二、综合题解析86

习题三88

第四章 定积分及反常积分92

第1节 重要概念、定理和公式的剖析92

一、基本性质92

二、定理和公式95

三、定积分的计算法98

四、反常积分的基本概念102

第2节 重要题型的解题方法和技巧103

题型一 分段函数的定积分103

题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分105

题型三 被积函数中含有“变限积分”的定积分106

题型四 对称区间上的定积分108

题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分109

题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分110

题型七 已知一定积分，求另一定积分111

题型八 定积分等式的证明112

题型九 定积分不等式的证明120

题型十 计算反常积分125

题型十一 反常积分的判敛126

第3节 思维定势及综合题解析127

一、思维定势127

二、综合题解析128

习题四129

第五章 微分中值定理133

第1节 重要概念、定理和公式的剖析133

第2节 重要题型的解题方法和技巧134

题型一 闭区间上连续函数命题的证明134

题型二 证明给出的函数f （x）满足某中值定理137

题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题138

题型四 命题f（n） （ξ）=0的证明139

题型五 欲证结论：至少存在一点ξ∈ （a,b+），使得f（n） （ξ）=k（k≠ 0）或由a, b,f（a），f （b），ξ, f （ξ），f' （ξ），…, f（n） （ξ）所构成的代数式成立140

题型六 欲证结证：在（a, b），内至少存在ξ,η（ξ≠ η）满足某个代数式143

第3节 思维定势及综合题解析144

一、思维定势144

二、综合题解析146

习题五147

第六章 常微分方程150

第1节 重要概念、定理和公式的剖析150

一、基本概念150

二、二阶线性微分方程解的结构150

三、二阶常系数线性微分方程152

四、n阶常系数线性微分方程152

第2节 重要题型的解题方法和技巧155

题型一 一阶微分方程的计算155

题型二 可降阶的高阶方程的求解164

题型三 计算二阶线性微分方程165

题型四 欧拉方程的计算168

题型五 微分方程的应用170

第3节 思维定势及综合题解析173

一、思维定势173

二、综合题解析173

习题六175

第七章 一元微积分的应用178

第1节 重要概念、定理和公式的剖析178

一、函数的单调增减性定理178

二、函数的极值与最值179

三、函数凹凸性的判别与函数的拐点180

四、微元法及其应用182

第2节 重要题型的解题方法和技巧184

题型一 求函数的极值184

题型二 求函数的最值185

题型三 关于方程根的讨论186

题型四 函数渐近线的求解191

题型五 函数作图192

题型六 求平面图形的面积193

题型七 求立体的体积195

题型八 求平面曲线的弧长196

题型九 求旋转体的侧面积197

题型十 变力做功、引力、液体的静压力198

第3节 思维定势与综合题解析201

一、思维定势201

二、综合题解析202

习题七205

第八章 无穷级数208

第1节 重要概念、定理和公式的剖析208

一、无穷级数的基本概念和性质208

二、数项级数判敛法209

三、函数项级数的概念214

四、幂级数的概念和性质214

五、傅里叶级数的概念及定理216

第2节 重要题型的解题方法和技巧219

题型一 正项级数的判敛219

题型二 任意项级数的判敛220

题型三 级数的证明或判敛222

题型四 计算函数项级数收敛域224

题型五 求幂级数的收敛域、收敛半径226

题型六 函数在某点的幂级数展开227

题型七 幂级数求和229

题型八 数项级数求和233

题型九 周期与非周期函数的傅里叶级数236

第3节 思维定势及综合题解析239

一、思维定势239

二、综合题解析239

习题八241

第九章 矢量代数与空间解析几何245

第1节 重要概念、定理和公式的剖析245

一、矢量的概念及其性质245

二、平面与直线250

三、投影方程251

四、曲面方程253

第2节 重要题型的解题方法和技巧257

题型一 求平面方程257

题型二 求空间直线方程259

第3节 思维定势及综合题解析261

一、思维定势261

二、综合题解析261

习题九262

第十章 多元函数微分学265

第1节 重要概念、定理和公式的剖析265

一、二元函数的定义265

二、二元函数的极限及连续性266

三、偏导数、全导数及全微分267

四、基本定理268

五、多元函数的极值270

六、条件极值与无条件极值271

第2节 重要题型的解题方法和技巧271

题型一 简单显函数u= f （x,y,z）的微分法271

题型二 复合函数微分法272

题型三 隐函数微分法275

题型四 空间曲线在某点处的切线和法平面方程278

题型五 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程279

题型六 求无条件极值281

题型七 求条件极值282

题型八 求最值283

第3节 思维定势及综合题解析285

一、思维定势285

二、综合题解析286

习题十287

第十一章 重积分290

第1节 重要概念、定理和公式的剖析290

一、基本概念290

二、性质290

三、公式293

四、二重积分的解题技巧294

五、三重积分的解题技巧296

第2节 重要题型的解题方法和技巧298

题型一 更换二重积分的积分次序298

题型二 选择二重积分的积分次序300

题型三 二重积分坐标系的选择302

题型四 分段函数的二重积分的计算303

题型五 二重积分等式的证明306

题型六 二重积分不等式的证明308

题型七 更换三重积分的积分次序310

题型八 三重积分的计算310

第3节 思维定势及综合题解析312

一、思维定势312

二、综合题解析313

习题十一314

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步319

第1节 重要概念、定理和公式的剖析319

一、曲线积分的概念和性质319

二、曲线积分的基本定理320

三、曲面积分的概念和性质321

四、曲面积分的基本定理322

五、场论初步322

第2节 重要题型的解题方法和技巧327

题型一 对弧长的曲线积分的计算327

题型二 对坐标的曲线积分的计算328

题型三 对面积的曲面积分的计算333

题型四 对坐标的曲面积分的计算334

题型五 曲面面积的计算339

第3节 思维定势及综合题解析340

一、思维定势340

二、综合题解析341

习题十二342

第十三章 函数方程与不等式证明344

第1节 函数方程344

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程344

二、利用极限求解函数方程345

三、利用导数的定义求解方程346

四、利用交上限积分的可导性求解方程346

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解347

六、利用解微分方程的方法求解f （x）348

第2节 不等式的证明351

一、引入参数法351

二、利用微分中值定理352

三、利用函数的单调增减性（重点）354

四、利用函数的极值与最值356

五、利用函数图形的凹凸性358

六、利用泰勒展开式358

七、杂例360

习题十三361

第二篇 线性代数364

第一章 行列式364

第1节 重要概念、定理和公式的剖析364

一、排列与逆序364

二、n阶行列式的定义365

三、行列式的基本性质366

四、行列式按行（列）展开定理369

五、重要公式与结论370

第2节 重要题型的解题方法和技巧371

题型一 抽象行列式的计算371

题型二 低阶行列式的计算372

题型三n阶行列式的计算373

第3节 思维定势与综合题解析379

一、思维定势379

二、综合题解析379

习题一381

第二章 矩阵384

第1节 重要概念、定理和公式的剖析384

一、矩阵的概念384

二、矩阵的运算384

三、逆矩阵的概念387

四、利用伴随矩阵求逆矩阵387

五、矩阵的初等变换与求逆388

六、分块矩阵及其求逆389

七、矩阵的秩及其求法390

第2节 重要题型的解题方法和技巧390

题型一 求逆矩阵390

题型二 求矩阵的高次幂Am392

题型三 有关初等矩阵的命题394

题型四 解矩阵方程395

题型五 求矩阵的秩397

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明398

题型七 关于方阵A可逆的证明398

题型八与A的伴随阵A有关联的命题的证明399

题型九 关于矩阵秩的命题的证明400

第3节 思维定势与综合题解析402

一、思维定势402

二、综合题解析404

习题二404

第三章 向量410

第1节 重要概念、定理和公式的剖析410

一、向量的概念与运算410

二、向量间的线性关系410

三、向量组的秩和矩阵的秩411

四、向量空间412

五、重要定理与公式414

六、小结414

第2节 重要题型的解题方法和技巧415

题型一 讨论向量组的线性相关性415

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明418

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示424

题型四 有关向量组线性表示命题的证明426

题型五 求向量组的极大线性无关组427

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明429

题型七 与向量空间有关的命题432

第3节 思维定势与综合题解析434

一、思维定势434

二、综合题解析435

习题三436

第四章 线性方程组440

第1节 重要概念、定理和公式的剖析440

一、克莱姆法则440

二、线性方程组的基本概念440

三、线性方程组解的判定441

四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系442

五、线性方程组解的性质442

六、线性方程组解的结构442

第2节 重要题型的解题方法和技巧443

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）443

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论447

题型三 讨论两个方程组的公共解451

题型四 有关基础解系的证明453

第3节 思维定势与综合题解析454

一、思维定势454

二、综合题解析455

习题四460

第五章 特征值和特征向量464

第1节 重要概念、定理和公式的剖析464

一、矩阵的特征值和特征向量的概念464

二、相似矩阵及其性质464

三、矩阵可相似对角化的充要条件465

四、实对称矩阵及其性质465

五、重要公式与结论465

第2节 重要题型的解题方法和技巧466

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量466

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量468

题型三 特征值、特征向量的逆问题469

题型四 相似的判定及其逆问题470

题型五 判断A是否可对角化472

题型六 有关特征值、特征向量的证明题475

第3节 思维定势与综合题解析477

一、思维定势477

二、综合题解析477

习题五483

第六章二次型486

第1节 重要概念、定理和公式的剖析486

一、二次型及其矩阵表示486

二、化二次型为标准型486

三、配方法和正交变换法487

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法488

第2节 重要题型的解题方法和技巧491

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质491

题型二 化二次型为标准形492

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数496

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明497

第3节 思维定势与综合题解析499

一、思维定势499

二、综合题解析500

习题六501

第三篇 概率论与数理统计503

第一章 随机事件和概率503

第1节 重要概念、定理和公式的剖析503

一、随机试验和随机事件503

二、事件的关系及其运算504

三、事件的概率及其性质506

四、条件概率与事件的独立性507

五、重要概型508

六、重要公式508

第2节 重要题型的解题方法和技巧509

题型一 古典概型与几何概型509

题型二 事件的关系和概率性质的命题513

题型三 条件概率与积事件概率的计算515

题型四 全概率公式与Bayes公式的命题516

题型五 有关Bernoulli概型的命题518

第3节 思维定势与综合题解析520

一、思维定势520

二、综合题解析521

习题一522

第二章 随机变量及其分布526

第1节 重要概念、定理和公式的剖析526

一、概念与公式一览表526

二、重要的一维分布530

三、重要的二维分布532

第2节 重要题型的解题方法和技巧533

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题533

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数536

题型三 求一维随机变量函数的分布540

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查542

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论544

题型六 求两个随机变量的简单函数的分布551

第3节 思维定势与综合题解析556

一、思维定势556

二、综合题解析558

习题二559

第三章 随机变量的数字特征567

第1节 重要概念、定理和公式的剖析567

一、一维随机变量的数字特征567

二、二维随机变量的数字特征569

三、几种重要的数学期望与方差570

四、重要公式与结论571

第2节 重要题型的解题方法和技巧571

题型一 求一维随机变量的数字特征571

题型二 求一维随机变量函数的数学期望576

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征578

题型四 有关数字特征的证明题585

题型五 数字特征在经济中的应用586

第3节 思维定势与综合题解析589

一、思维定势589

二、综合题解析589

习题三592

第四章 大数定律和中心极限定理597

第1节 重要概念、定理和公式的剖析597

一、切比雪夫不等式597

二、中心极限定理597

三、重要公式与结论598

四、注意598

第2节 重要题型的解题方法和技巧598

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题598

题型二 有关中心极限定理的命题600

习题四603

第五章 数理统计的基本概念604

第1节 重要概念、定理和公式的剖析604

一、几个基本概念604

二、三个抽样分布——X2分布、t分布与F 分布605

三、正态总体下常用统计量的性质605

四、重要公式与结论606

五、经验分布函数606

第2节 重要题型的解题方法和技巧607

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量607

题型二 求统计量的分布608

第3节 思维定势610

习题五611

第六章 参数估计613

第1节 重要概念、定理和公式的剖析613

一、矩估计与最大似然估计613

二、估计量的评选标准614

三、区间估计615

四、重要公式与结论617

第2节 重要题型的解题方法和技巧617

题型一 求矩估计和最大似然估计617

题型二 评价估计的优劣621

题型三 区间估计或置信区间的命题622

习题六625

第七章 假设检验628

第1节 重要概念、定理和公式的剖析628

一、显著性检验的基本思想628

二、假设检验的基本步骤628

三、两类错误628

四、正态总体未知参数的假设检验629

五、假设检验与区间估计的联系630

第2节 重要题型的解题方法和技巧630

题型一 正态总体的均值和方差的假设检验630

题型二 有关两类错误的命题631

习题七632

附录 课后习题答案详解634

第一篇 高等数学634

第一章 函数、极限和连续634

第二章 导数与微分638

第三章 不定积分642

第四章 定积分及反常积分649

第五章 微分中值定理652

第六章 常微分方程655

第七章 一元微积分的应用661

第八章 无穷级数666

第九章 矢量代数与空间解析几何672

第十章 多元函数微分学675

第十一章 重积分679

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步688

第十三章 函数方程与不等式证明690

第二篇 线性代数694

第一章 行列式694

第二章 矩阵696

第三章 向量704

第四章 线性方程组709

第五章 特征值和特征向量717

第三篇概率论与数理统计729

第一章 随机事件和概率729

第二章 随机变量及其分布732

第三章 随机变量的数字特征743

第四章 大数定律和中心极限定理749

第五章 数理统计的基本概念750

第六章 参数估计753

第七章 假设检验757