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预备章 代数运算 二元关系1

1 二元代数运算1

1.1 定义与例子1

1.2 半群的概念3

2 等价关系6

2.1 二元关系6

2.2 等价关系8

2.3 满射的分解10

3 偏序关系11

3.1 基本概念11

3.2 Zorn引理13

第一章 群16

1 群的定义16

1.1 定义与例子16

1.2 刻画定理18

2 子群 同态22

2.1 子群的概念22

2.2 群的同态25

3 循环群31

3.1 元素的阶31

3.2 循环群的若干结论32

4 变换群36

4.1 定义与例子36

4.2 Cayley定理38

4.3 置换群39

5 子群的陪集43

5.1 陪集的概念44

5.2 Lagrange定理46

6 正规子群49

6.1 正规子群的概念49

6.2 商群的概念52

6.3 有限单群55

7 同态定理58

7.1 同态基本定理59

7.2 子群的对应关系62

7.3 同构定理63

8 群在集合上的作用65

8.1 定义与例子65

8.2 轨道与稳定子群67

8.3 Burnside引理70

9 Sylow定理72

10 有限交换群的结构76

10.1 群的直积76

10.2 结构定理80

11 解题探索85

11.1 元素的阶 循环群85

11.2 群子集86

11.3 正规子群88

11.4 自同构群89

11.5 有限群91

第二章 环96

1 环的概念96

1.1 环的定义96

1.2 环的乘法半群100

2 无零因子环102

2.1 无零因子环的概念103

2.2 除环 域105

3 理想 商环109

3.1 子环的概念110

3.2 理想111

3.3 商环115

4 环的同态117

4.1 同态的概念117

4.2 同态定理119

5 挖补定理及其应用123

5.1 同构嵌入原理124

5.2 分式域125

5.3 多项式环129

6 素理想与极大理想134

6.1 素理想的概念134

6.2 极大理想135

7 唯一分解环139

7.1 整除的概念139

7.2 唯一分解环的刻画142

7.3 最大公因子145

8 主理想整环与Euclid环148

8.1 主理想整环148

8.2 Euclid环150

9 Gauss整环上的多项式环152

9.1 本原多项式152

9.2 因式分解定理154

9.3 多项式的根156

10 环的表示与模160

10.1 EndG与环的表示160

10.2 模的概念164

11 解题探索168

11.1 交换性 零因子168

11.2 除环 正则环171

11.3 同态与同构173

11.4 理想177

11.5 整除理论180

第三章 域的扩张184

1 单扩域184

1.1 扩域的概念184

1.2 单扩域186

2 代数扩域189

2.1 有限扩域189

2.2 代数扩域191

2.3 应用：尺规作图问题194

3 多项式的分裂域197

3.1 存在、唯一性定理197

3.2 可分扩域203

3.3 分裂域的正规性206

4 有限域209

4.1 有限域的基本结论209

4.2 应用：编码214

5 Galois理论基本定理220

5.1 Galois扩域220

5.2 Galois对应222

5.3 应用：用根式解代数方程问题225

6 解题探索231

6.1 有限扩域231

6.2 多项式的分裂域233

6.3 特征p之域236

参考文献240