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第一章　Cauchy型积分1

1.1　Cauchy型积分的意义1

1.1.1　Cauchy型积分的定义1

1.1.2　分区全纯函数4

1.2　Plemelj公式6

1.2.1　Cauchy主值积分6

1.2.2　曲线上弧长与弦长的关系9

1.2.3　H？lder条件12

1.2.4　Cauchy主值积分存在的一个充分条件17

1.2.5　Plemelj公式18

1.3　Cauchy型积分边值的性质22

1.3.1 Privalov定理22

1.3.2　Cauchy型积分边值的导数28

1.4　核密度中含有参数的Cauchy主值积分和积分换序问题29

1.4.1　核密度带参数的Cauchy主值积分29

1.4.2　积分换序问题34

1.4.3　Cauchy主值积分反演公式40

1.5　无穷直线上的Cauchy型积分43

1.5.1　？类43

1.5.2　实轴上的Cauchy型积分及其性质44

1.6　解析函数边值的条件47

1.6.1　全纯函数边值的条件47

1.6.2　亚纯函数边值的条件50

1.7　高阶奇异积分和留数定理的推广52

1.7.1　Cauchy定理的推广52

1.7.2　高阶奇异积分54

1.7.3　留数定理的推广58

第二章　封闭曲线情况下的基本边值问题66

2.1　引言66

2.1.1　Riemann边值问题的提法66

2.1.2　跳跃问题及其解法67

2.2　齐次Riemann边值问题68

2.2.1　齐次R问题与指标概念68

2.2.2　齐次R问题的解法——简单情况69

2.2.3　典则函数72

2.2.4　齐次R问题的解法——一般情况72

2.3　非齐次Riemann边值问题74

2.3.1　非齐次R问题的求解74

2.3.2　相联R问题76

2.4　无穷曲线上的Riemann边值问题77

2.4.1　实轴上的R问题77

2.4.2　几点说明81

2.5　非正则型的Riemann边值问题82

2.5.1　齐次问题82

2.5.2　非齐次问题83

2.6　Hilbert边值问题86

2.6.1　问题的提法86

2.6.2　单位圆内的函数在圆外的对称扩张87

2.6.3　单位圆的H问题88

2.6.4　半平面中的H问题93

2.7　复合边值问题97

2.7.1　复合边值问题的提法与转化97

2.7.2　RH问题的求解100

2.8　周期边值问题103

2.8.1　周期Riemann边值问题的提法与转化103

2.8.2　齐次PR问题105

2.8.3　非齐次PR问题109

2.8.4　周期Hilbert边值问题114

2.9　双周期Riemann边值问题118

2.9.1　椭圆函数118

2.9.2　双周期Riemann边值问题的提法与跳跃问题的解法120

2.9.3　一般DR边值问题的解法122

2.10　双准周期的Riemann边值问题126

2.10.1　双准周期解析函数126

2.10.2　加法双准周期的R问题128

2.10.3　乘法双准周期的R问题129

2.11　双周期解析函数Dirichlet问题134

2.11.1　双周期解析函数的积分表示式134

2.11.2　双周期Dirichlet问题137

2.12　双准周期解析函数Dirichlet问题139

2.12.1　加法双准周期Dirichlet问题139

2.12.2　乘法双准周期的齐次Dirichlet问题144

2.12.3　乘法双准周期解析函数的积分表示式147

2.12.4　乘法双准周期的非齐次Dirichlet问题150

2.13　双周期解析函数的Hilbert问题153

2.13.1　MQ正规化153

2.13.2　双周期Hilbert边值问题155

第三章　封闭曲线情况下的奇异积分方程159

3.1　Cauchy核的奇异积分方程和奇异算子159

3.1.1　一般概念159

3.1.2　奇异算子的性质161

3.2　特征方程及其相联方程的解法162

3.2.1　特征方程的解法162

3.2.2　特征方程的相联方程的解法165

3.2.3　特征方程的Noether定理166

3.3　奇异积分方程的正则化及一般的Noether定理168

3.3.1　奇异积分方程的正则化168

3.3.2　Noether定理169

3.4　含周期核的奇异积分方程171

3.4.1　Hilbert核的奇异积分方程171

3.4.2　含ζ函数核的奇异积分方程177

3.5　一类奇异积分方程的直接解法181

3.5.1　引言181

3.5.2　求解的一般方法184

3.5.3　a（z）±b（z）无相同零点的正则型情况187

3.5.4　a（z）±b（z）无相同零点的非正则型情况190

3.5.5　a（z）±b（z）有相同零点的情况196

3.5.6　一些应用201

第四章　一般情况下的边值问题204

4.1　Cauchy型积分在端点附近的性质204

4.1.1　核密度属H类的情况204

4.1.2　H＊类函数207

4.1.3　核密度属H＊类时Cauchy型积分的性质210

4.1.4　核密度属H＊类时Cauchy主值积分的性质215

4.1.5　积分路径具有节点的情况217

4.2　一般Riemann边值问题218

4.2.1　开口弧段上的R问题218

4.2.2　带节点曲线上的R问题224

4.2.3　相联R问题226

4.2.4　几种重要特殊情况227

4.3　间断系数的Hilbert边值问题231

4.3.1　单位圆情况231

4.3.2　半平面情况233

4.4　其他边值问题237

4.4.1　一般复合边值问题237

4.4.2　一般的PR问题240

4.4.3　开口弧段的DR问题244

4.4.4　开口弧段的QR问题253

第五章　一般情况下的奇异积分方程262

5.1　特征方程及其相联方程262

5.1.1　特征方程262

5.1.2　相联方程265

5.1.3　一般Cauchy主值积分的反演266

5.2　完全奇异积分方程269

5.2.1　正则化问题269

5.2.2　正则化方程的讨论271

5.2.3　一般情况下的Noether定理273

5.3　一般带周期核的奇异积分方程279

5.3.1 曲线带节点的Hilbert核奇异积分方程279

5.3.2　一般Hilbert核积分的反演281

5.3.3　实轴上的Hilbert核积分的反演290

5.3.4　修改的反演问题294

5.3.5　开口弧段上带ζ函数核的奇异积分方程301

5.4　方程具有一阶奇异性解的情况305

5.4.1　Fredholm方程情况305

5.4.2　Cauchy核奇异方程情况307

5.4.3　特征方程及其相联方程的解309

第六章　函数组的边值问题与奇异积分方程组314

6.1 函数组的Riemann边值问题314

6.1.1　一些记号与名称314

6.1.2　齐次R问题化为Fredholm方程316

6.1.3　齐次R问题的典则解组318

6.1.4　齐次R问题的一般解与指标325

6.1.5　函数组的相联齐次R问题329

6.1.6　函数组的非齐次R问题331

6.2 函数组的Hilbert边值问题和复合边值问题334

6.2.1　典则矩阵的一般表示334

6.2.2　函数组的齐次H问题336

6.2.3　函数组的非齐次H问题341

6.2.4　函数组的RH问题342

6.3　奇异积分方程组344

6.3.1　特征奇异积分方程组344

6.3.2　特征方程的相联方程347

6.3.3　完全奇异积分方程组及其正则化349

6.3.4　奇异积分方程组的Noether定理353

6.4　某些直接有效解法355

6.4.1　有理系数矩阵的R问题355

6.4.2　核与系数具解析性的奇异积分方程组359

6.4.3　解析核密度的奇异积分的反演361

第七章　其他问题363

7.1 与某些分式线性变换群相联系的边值问题与奇异积分方程363

7.1.1　分式线性变换群363

7.1.2　与有限分式线性变换群有关的Riemann边值问题366

7.1.3　与有限分式线性变换群有关的奇异积分方程370

7.2　带位移的边值问题和奇异积分方程374

7.2.1　带位移的Riemann边值问题374

7.2.2　保形粘合定理以及SR问题转化为R问题381

7.2.3　其他带位移的边值问题386

7.2.4　带位移的奇异积分方程393

7.3　卷积型线性方程组395

7.3.1　Laurent变换395

7.3.2　（A）型方程组397

7.3.3　（B）型方程组398

7.4　Cauchy主值积分的近似计算399

7.4.1　奇点分离法399

7.4.2　Gauss-Chebyshev型求积公式401

7.4.3　用分段线性函数逼近Cauchy主值积分403

7.5　带根号的边值问题405

7.5.1　带根号的Riemann边值问题405

7.5.2　应用于一种非线性奇异积分方程409

7.5.3　带根号的Hilbert边值问题413

7.5.4　开口弧上的带根号Riemann边值问题416

7.6　解具高阶奇异性的Riemann边值问题及其应用423

7.6.1　解具高阶奇异性的Riemann边值问题423

7.6.2　应用于求解具一阶奇异性的特征奇异积分方程429

附录　有关Fredholm积分方程的结果433

1．Fredholm定理433

2．预解核435

3．推广436

参考文献438

索引444