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第一章 基本概念和一阶偏微分方程1

1.1 记号和基本概念1

1.1.1 记号1

1.1.2 基本概念3

1.1.3 定解条件和定解问题6

1.1.4 偏微分方程小史6

1.1.5 本课程的打算7

1.2 一阶偏微分方程的求解8

1.2.1 拟线性方程的Cauchy问题8

1.2.2 一阶完全非线性方程的Cauchy问题13

1.3 全积分和包面20

1.4 幂级数和Cauchy-Kovalevskaja定理26

1.4.1 实解析函数和优函数27

1.4.2 常微分方程的实解析解28

1.4.3 Cauchy-Kovalevskaja定理30

第二章 定解问题的导出和二阶线性偏微分方程的分类及化简35

2.1 变分问题和微分方程与变分原理和定解问题35

2.1.1 泛函和变分问题35

2.1.2 定解问题39

2.2 二阶线性偏微分方程的分类和化简42

2.2.1 二阶常系数线性偏微分方程的分类和化简42

2.2.2 变系数二阶线性偏微分方程的分类和有关的坐标变换46

2.2.3 两个自变量的变系数二阶线性偏微分方程的化简50

第三章 二阶常系数线性偏微分方程的求解方法56

3.1 叠加原理和齐次化原理56

3.1.1 定解问题的分解56

3.1.2 齐次化(Duhamel)原理58

3.2 Fourier级数和分离变量法64

3.3 Fourier积分和积分变换78

3.3.1 Fourier积分定理79

3.3.2 Fourier变换及其性质81

3.3.3 Laplace变换及其性质90

第四章 波动方程96

4.1 波动方程的建立96

4.1.1 弦振动方程(一维波动方程)的建立96

4.1.2 膜振动方程(二维波动方程)的建立98

4.1.3 弹性介质中的振动方程(三维波动方程)的建立100

4.2 弦振动方程的Cauchy问题与半无界弦的初边值问题104

4.2.1 弦振动方程的Cauchy问题104

4.2.2 半无界弦的初边值问题(延拓法)107

4.3 三维和二维波动方程的Cauchy问题112

4.3.1 三维波动方程的Cauchy问题(球平均法)112

4.3.2 二维波动方程Cauchy问题的求解(降维法)116

4.3.3 依赖区域，决定区域和影响区域以及二维波动和三维波动的区别118

4.3.4 波动方程Cauchy问题的惟一性和稳定性，能量积分122

4.4 波动方程在有界区域上的初边值问题129

4.4.1 弦振动方程的初边值问题129

4.4.2 有界区间上弦振动方程解的物理意义136

4.4.3 高维波动方程在有界区域上的初边值问题137

4.4.4 有界区域上波动方程初边值问题的惟一性和稳定性142

第五章 热传导方程145

5.1 热传导方程的建立145

5.2 有界区域上初边值问题的分离变量法147

5.3 热传导方程的Cauchy问题和半空间上的初边值问题151

5.3.1 热传导方程的Cauchy问题151

5.3.2 热传导方程在半空间上的初边值问题157

5.4 极值原理与惟一性和稳定性158

5.4.1 极值原理159

5.4.2 有界区域上初边值问题的惟一性163

5.4.3 有界区域上热传导方程初边值问题的稳定性(最大模或最大值估计)164

5.4.4 Cauchy问题的惟一性和稳定性166

5.4.5 热传导方程的能量积分170

第六章 位势方程174

6.1 位势方程的引入，定解问题的提法和基本解174

6.2 极值原理，位势方程的惟一性和稳定性177

6.3 Green公式和Green函数及调和函数的一些性质181

6.3.1 Green公式及其若干推论182

6.3.2 Green函数和球域上Dirichlet问题的求解公式186

6.3.3 调和函数的一些性质191

6.4 Newton位势和非齐次位势方程的特解194

6.5 Perron方法和有界区域上Dirichlet问题的可解性197