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第一章　函数的极限与连续1

第一节　数列的极限1

1.1 实数1

1.1.1　集合及其运算1

1.1.2　实数系的连续性3

1.1.3　确界与确界存在定理4

1.2　数列极限的定义7

1.3 收敛数列11

1.3.1　收敛数列的性质11

1.3.2　数列收敛的判别准则14

习题1.121

第二节　函数的极限23

2.1 映射与函数23

2.1.1　映射23

2.1.2　函数25

2.2 函数的极限31

2.3 函数极限与数列极限的关系35

2.4 函数极限的性质及运算36

2.4.1　函数极限的性质37

2.4.2　函数极限的四则运算法则37

2.5 函数极限存在的判别准则39

2.6 两个重要的函数极限41

2.7 无穷小量及其比较44

2.8 无穷大量及其比较47

习题1.248

第三节　函数的连续性50

3.1 函数连续性的概念与基本性质50

3.1.1　函数连续性的概念50

3.1.2　连续函数的性质52

3.2 函数的间断点及其类型54

3.3 闭区间上连续函数的性质56

3.4 函数的一致连续性60

习题1.362

复习题一63

第二章　一元函数微分学及其应用66

第一节　函数的导数66

1.1 导数的概念66

1.1.1　导数的定义66

1.1.2　导数的几何意义69

1.1.3　可导与连续的关系72

1.2　简单函数的导数73

1.3 导数的运算法则75

1.4　反函数的导数78

1.5　复合函数的导数80

1.6 隐函数的导数84

1.7　参数方程确定的函数的导数85

1.8　相关变化率问题88

习题2.190

第二节　函数的微分92

2.1　微分的概念92

2.2 微分公式与运算法则95

2.3　微分的简单应用97

2.3.1　函数值的近似计算97

2.3.2　间接测量的误差估计98

习题2.299

3.1 高阶导数100

第三节　高阶导数与高阶微分100

3.2 高阶导数的运算法则105

3.3　高阶微分107

习题2.3109

第四节　微分学的基本原理110

4.1　极值与费马定理110

4.2　微分中值定理112

4.3 洛必达法则118

习题2.4123

第五节　泰勒公式125

5.1 泰勒公式125

5.2 几个初等函数的马克劳林公式128

5.3 泰勒公式的应用131

5.3.1 泰勒公式在近似计算中的应用131

5.3.2　利用泰勒公式求极限133

习题2.5133

第六节　函数性态的研究134

6.1 函数的单调性134

6.2 函数的极值136

6.3 函数的最值139

6.4 曲线的凹凸性与拐点142

6.5 曲线的渐近线145

6.6 函数作图的分析法147

习题2.6149

第七节　平面曲线的曲率151

7.1 曲率的概念151

7.2 曲率的计算152

习题2.7155

第八节　方程的近似解155

8.1 二分法156

8.2　牛顿迭代法（切线法）157

习题2.8160

复习题二160

1.1 原函数与不定积分164

1.1.1　原函数与不定积分的概念164

第三章　一元函数积分学及其应用164

第一节　不定积分164

1.1.2　不定积分的性质和基本公式166

1.2　换元积分法169

1.2.1　第一类换元法169

1.2.2　第二类换元法172

1.3　分部积分法177

1.4　积分法举例179

1.4.1　有理函数的积分179

1.4.2　三角函数有理式的积分181

习题3.1182

1.4.3　简单无理函数的积分182

第二节　定积分的概念与性质186

2.1 定积分概念的引入186

2.1.1　曲边梯形的面积186

2.1.2　变速直线运动的路程186

2.2　定积分的定义187

2.2.1　定积分的定义187

2.2.2　定积分的几何意义188

2.3　定积分的性质189

3.1　微积分的基本定理192

3.1.1　变上限的积分192

第三节　定积分的计算192

习题3.2192

3.1.2　牛顿—莱布尼茨公式194

3.2　定积分的换元积分法与分部积分法196

3.2.1　定积分换元积分法196

3.2.2　定积分分部积分法199

3.3　定积分的近似计算200

3.3.1　矩形法200

3.3.2　梯形法201

3.3.3　辛普森公式201

习题3.3203

4.1.1　再论曲边梯形的面积204

4.1 微元法204

第四节　定积分的应用204

4.1.2　微元法205

4.2　平面图形的面积205

4.2.1　直角坐标情形205

4.2.2　极坐标情形206

4.3　平面曲线的弧长207

4.3.1　曲线弧为直角坐标方程207

4.3.2　曲线弧为参数方程208

4.3.3　曲线弧为极坐标方程208

4.4　平行截面面积为已知的立体的体积209

4.5　旋转体的体积210

4.6　旋转体的侧面积211

4.7 函数的平均值212

4.8 变力作功213

4.9 液体的侧压力、引力214

4.9.1 压力214

4.9.2　引力215

习题3.4216

第五节　广义积分217

5.1 无穷区间上的积分217

5.2 无界函数的广义积分218

5.3 无穷区间上积分的审敛法220

5.4 无界函数积分的审敛准则222

5.5 Г函数223

习题3.5224

复习题三225

第四章　微分方程229

第一节　微分方程的基本概念229

习题4.1231

第二节　一阶微分方程232

2.1 可分离变量的微分方程232

2.2　齐次方程234

2.3 一阶线性方程236

2.4 贝努利方程238

习题4.2239

3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程240

第三节　可降阶的高阶微分方程240

3.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程241

3.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程244

习题4.3246

第四节　二阶线性微分方程的一般理论246

4.1 齐次线性微分方程解的结构246

4.2 非齐次线性微分方程解的结构248

4.3　常数变易法249

习题4.4250

第五节　二阶常系数线性微分方程250

5.1 常系数齐次线性微分方程250

5.2 常系数非齐次线性微分方程255

5.3　欧拉方程259

习题4.5260

第六节　微分方程的应用261

6.1 生物种群繁殖的数学模型261

6.2 振动问题262

习题4.6268

复习题四269

习题答案与提示272

附录287

1．希腊字母表287

2．常用曲线表288

3．简明积分表292