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第1部分 算术1

第1章 算术1

1.1 数的概念、性质和运算1

1 数的概念1

2 数的整除1

3 数的四则运算2

4 比和比例2

1.2 应用问题举例3

1 整数和小数四则运算应用题3

2 分数与百分数应用题7

3 简单方程应用题9

4 比和比例应用题10

1.3 典型例题12

1 实数、数轴25

2.1 实数和复数25

第2章 数和代数式25

第2部分 初等代数25

2 实数的运算26

3 复数26

2.2 代数式及其运算28

1 整式及其加法与乘法28

2 因式分解28

3 整式的除法29

4 分式30

5 根式31

2.3 典型例题32

第3章 集合、映射和函数35

3.1 集合35

1 集合的概念35

2 集合的包含关系36

3 集合的基本运算36

1 映射的概念37

2 函数37

3.2 映射和函数37

3 反函数39

4 函数的单调性、奇偶性和周期性39

5 幂函数、指数函数和对数函数40

3.3 典型例题43

4.2 一元一次方程46

4.3 二元一次方程组46

4.1 概念46

第4章 代数方程和简单的超越方程46

4.4 一元二次方程的性质48

1 判别式48

2 根和系数的关系48

3 二次函数的图像和一元二次方程的根48

4.5 解一元代数方程50

1 配方法50

2 公式法50

3 分解因式法50

1 确定根所属的区间51

4.6 根的范围、方程的变换51

2 方程的变换52

4.7 典型例题53

第5章 不等式56

5.1 不等式的概念和性质56

1 不等式的概念56

2 不等式的基本性质56

3 基本的不等式56

4 解不等式57

5.2 解含绝对值的不等式57

5.3 解一元二次不等式58

5.4 解分式不等式60

5.5 解简单的无理不等式61

5.6 利用函数的性质和图像解不等式62

5.7 典型例题63

第6章 数列、数学归纳法67

6.1 数列的基本概念67

6.2 等差数列69

6.3 等比数列71

6.4 数学归纳法73

6.5 典型例题73

第7章 排列、组合、二项式定理和古典概率78

7.1 排列和组合78

1 基本概念78

2 排列数和组合数公式78

3 例题79

7.2 二项式定理81

7.3 古典概率问题82

1 基本概念82

2 等可能事件的概率83

3 互斥事件有一个发生的概率85

4 相互独立事件同时发生的概率85

5 独立重复试验86

7.4 典型例题87

第3部分 几何与三角91

第8章 常见几何图形91

8.1 常见平面几何图形91

1 三角形91

2 四边形92

3 圆和扇形93

4 平面图形的全等和相似关系93

8.2 常见空间几何图形95

1 长方体95

2 圆柱体95

3 正圆锥体95

4 球95

8.3 典型例题97

第9章 三角学的基本知识104

9.1 三角函数104

1 角和三角函数104

3 诱导公式105

2 同角三角函数的关系105

4 三角函数的图像和性质106

5 例题107

9.2 两角和与差的三角函数108

1 两角和与差公式108

2 倍角与半角公式108

3 例题108

9.3 解斜三角形109

9.4 反三角函数110

9.5 典型例题112

第10章 平面解析几何116

10.1 平面向量116

1 基本概念116

2 向量的加法与数乘116

3 向量的内积117

4 有向线段的定比分点118

2 直线的方程119

1 直线的方向向量、倾斜角和斜率119

10.2 直线119

3 两条直线的位置关系120

10.3 圆123

10.4 椭圆124

10.5 双曲线125

10.6 抛物线126

10.7 例题127

10.8 典型例题128

11.1 函数及其特性132

1 函数的定义132

第4部分 一元函数微积分132

第11章 极限与连续132

2 函数的特性133

3 复合函数与初等函数134

11.2 数列的极限135

1 数列的极限135

4 数列极限存在的准则136

2 数列极限的性质136

3 数列极限的四则运算136

11.3 函数的极限137

1 函数极限的定义137

2 函数极限的性质138

3 函数极限的运算法则138

4 两个重要极限139

11.4 无穷小量与无穷大量141

1 无穷小量与无穷大量的定义141

2 无穷小量与无穷大量的关系142

3 无穷小量与函数极限的关系142

4 无穷小量的性质142

5 无穷小量的比较142

6 等价无穷小量替换定理143

11.5 函数的连续性144

1 连续的定义144

3 连续函数的运算法则145

2 函数间断点及分类145

4 连续函数在闭区间上的性质146

11.6 典型例题146

第12章 一元函数微分学153

12.1 导数的概念153

1 导数的定义153

2 导数的几何意义155

3 可导性与连续性的关系155

12.2 导数公式与求导法则156

1 导数公式156

2 四则运算的求导法则157

3 复合函数的求导法则159

12.3 高阶导数162

12.4 微分164

1 微分的定义164

2 微分与导数的关系164

4 微分基本公式和四则运算法则165

3 微分的几何意义165

5 一阶微分形式不变性166

12.5 中值定理167

1 罗尔定理167

2 拉格朗日中值定理167

12.6 洛必达法则169

12.7 函数的单调性与极值172

1 函数单调性的判定法172

2 函数的极值及判断173

12.8 函数的最大值、最小值问题175

12.9 曲线的凹凸、拐点及渐近线177

1 曲线的凹凸、拐点177

2 曲线的渐近线178

12.10 典型例题179

2 不定积分基本计算公式192

1 原函数、不定积分的概念192

13.1 不定积分的概念和简单的计算192

第13章 一元函数积分学192

3 不定积分的性质193

13.2 不定积分的计算方法194

1 第一类换元法（凑微分法）194

2 第二类换元法197

3 分部积分法200

1 定积分的概念202

13.3 定积分的概念及性质202

2 定积分的几何意义203

3 定积分的性质203

13.4 微积分基本公式、定积分的计算206

1 牛顿-莱布尼茨公式206

2 变量替换法206

3 分部积分法207

13.5 定积分的应用211

1 平面图形的面积211

2 旋转体体积211

13.6 典型例题213

第14章 行列式226

14.1 行列式的概念与性质226

1 行列式的定义226

第5部分 线性代数226

2 行列式的性质227

3 几个特殊的行列式229

14.2 行列式的计算230

14.3 典型例题233

第15章 矩阵238

15.1 矩阵及其运算238

1 矩阵的概念238

2 矩阵的运算239

3 方阵的行列式243

4 特殊矩阵243

1 可逆矩阵与逆矩阵的概念245

2 矩阵可逆的充要条件245

15.2 可逆矩阵245

3 可逆矩阵的性质247

15.3 矩阵的初等变换249

1 初等变换249

2 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵250

15.4 矩阵的秩252

1 矩阵的秩的概念252

2 矩阵的秩的计算252

3 矩阵运算后秩的变化253

15.5 典型例题254

第16章 向量262

16.1 n维向量262

1 n维向量的定义262

2 n维向量的线性运算262

16.2 向量组的线性相关性264

1 向量的线性组合与线性表出264

2 向量组的线性相关与线性无关265

3 其他几个有关的结论267

1 向量组的等价268

2 向量组的秩和最大线性无关组268

16.3 向量组的秩268

3 向量组的秩和矩阵的秩的关系270

16.4 典型例题272

第17章 线性方程组278

17.1 线性方程组的基本概念278

1 非齐次线性方程组278

2 齐次线性方程组279

17.2 求解齐次线性方程组279

1 齐次线性方程组有非零解的条件279

2 齐次线性方程组解的性质280

3 齐次线性方程组解的结构、基础解系280

4 消元法解齐次线性方程组280

1 非齐次线性方程组有解的条件284

2 非齐次线性方程组解的性质和结构284

17.3 求解非齐次线性方程组284

3 消元法解非齐次线性方程组285

17.4 典型例题288

第18章 矩阵的特征值和特征向量294

18.1 特征值和特征向量的基本概念294

1 特征值和特征向量的定义294

2 特征值和特征向量的计算294

3 特征值和特征向量的性质297

2 相似矩阵的性质298

18.2 矩阵的相似对角化问题298

1 相似矩阵的定义298

3 矩阵对角化的条件和方法300

18.3 典型例题303

模拟试题（1）310

模拟试题（2）314

模拟试题答案318

附录1 初等数学中的一些重要公式319

附录2 微积分中的一些常用公式322