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目录1

第三篇 多元函数微积分1

第十章 多元函数微分学1

第一节 n维空间中的点列与集合1

1.1 n维空间概念1

1.2 n维空间中点列的极限3

1.3 n维空间中点集的邻域、开集与区域4

1.4 n维空间中点集的聚点与闭集6

1.5 n维空间中开集的构造7

习题 10.19

2.1 多元函数概念10

第二节 多元函数的极限与连续性10

2.2 多元函数的极限13

2.3 多元函数的连续性19

习题 10.220

第三节 偏导数与全微分23

3.1 偏导数概念23

3.2 微分中值定理与增量公式27

3.3 全微分29

3.4 微分法则32

3.5 高阶偏导数33

3.6 高阶全微分35

习题 10.336

第四节 复合函数的微分法37

4.1 链式法则38

4.2 一阶全微分形式不变性43

习题 10.444

第五节 隐函数的微分法45

5.1 由一个方程确定的隐函数的微分法45

5.2 由方程组所确定的隐函数的微分法48

5.3 关于隐函数的存在性52

习题 10.554

第六节 方向导数与梯度56

6.1 方向导数概念56

6.2 数量场的梯度59

习题 10.662

7.1 向量值函数的概念63

第七节 向量值函数及其微分法63

7.2 向量值函数的极限与连续64

7.3 向量值函数的微分法65

习题 10.767

第八节 多元函数的Taylor公式与极值问题68

8.1 n元函数的二阶Taylor公式68

8.2 无约束极值问题72

8.3 约束极值问题77

8.4 Lagrange乘数法78

8.5 最小二乘法80

习题 10.882

第九节 多元函数微分法在几何上的简单应用84

9.1 空间曲线的切线与法平面84

9.2 曲面的切平面与法线87

习题 10.990

第十一章 重积分与第一型曲线、曲面积分92

第一节 重积分与第一型曲线、曲面积分的概念和性质92

1.1 几何形体及其度量92

1.2 几何形体的质量问题93

1.3 几何形体上的积分概念94

1.4 几何形体上的积分的性质95

习题 11.196

第二节 二重积分的计算97

2.1 二重积分的几何意义98

2.2 直角坐标系下二重积分的计算98

2.3 极坐标系下二重积分的计算104

2.4 二重积分的换元法108

习题 11.2111

第三节 三重积分的计算113

3.1 直角坐标系下三重积分的计算114

3.2 三重积分的换元法118

3.3 利用柱面坐标计算三重积分119

3.4 利用球面坐标计算三重积分122

习题 11.3124

第四节第一型曲线与曲面积分的计算125

4.1第一型曲线积分的计算125

4.2 曲面面积的计算129

4.3第一型曲面积分的计算131

习题 11.4133

第五节 重积分与第一型曲线、曲面积分的应用举例135

5.1 几何问题136

5.2 质心问题138

5.3 转动惯量问题142

习题 11.5143

第六节 含参变量的积分144

6.1 积分限为常数的含参变量的积分144

6.2 积分限含参变量的积分147

6.3 含参变量的反常积分149

习题 11.6152

第十二章第二型曲线、曲面积分与场论初步154

第一节第二型曲线积分154

1.1第二型曲线积分的概念及性质154

1.2 两类曲线积分之间的关系158

1.3第二型曲线积分的计算159

习题 12.1165

第二节第二型曲面积分167

2.1 曲面的侧向问题167

2.2第二型曲面积分的概念及性质168

2.3第二型曲面积分的计算173

习题 12.2179

第三节 各种积分之间的关系181

3.1 Green公式181

3.2 Gauss公式187

3.3 Stokes公式191

习题 12.3193

4.1 引例196

第四节 平面上曲线积分与路径无关的条件196

4.2第二型曲线积分与路径无关的条件198

4.3 势函数的概念及其求法203

4.4 一阶全微分方程及其解法206

习题 12.4210

第五节 场论简介212

5.1 等值面与向量线212

5.2 向量场的散度213

5.3 向量场的旋度219

5.4 几类特殊的场225

习题 12.5227

第一节 函数项级数的逐点收敛与一致收敛229

1.1 函数项级数的逐点收敛性229

第四篇 函数项级数及常微分方程229

第十三章 函数项级数229

1.2 函数项级数的一致收敛概念231

1.3 函数项级数的一致收敛判别法233

1.4 一致收敛级数的和函数的性质235

习题 13.1238

第二节 幂级数240

2.1 幂级数的收敛半径与收敛区间240

2.2 幂级数的运算243

2.3 函数展开成幂级数247

2.4 初等函数的幂级数展开249

2.5 幂级数的应用举例252

习题 13.2255

第三节 Fourier级数257

3.1 三角函数系的正交性257

3.2 以2π为周期的函数的Fourier级数258

3.3 以2l为周期的函数的Fourier级数264

3.4 Fourier级数的复数形式268

习题 13.3270

第十四章 常微分方程272

第一节 微分方程的几个基本问题272

1.1 引入微分方程的几个典型问题272

1.2 关于微分方程组的一些概念275

1.3 高阶方程与一阶方程组的关系277

习题 14.1279

第二节 线性微分方程与线性微分方程组通解的结构280

2.1 线性微分方程通解的结构280

2.2 线性微分方程组通解的结构285

习题 14.2288

第三节 高阶常系数线性微分方程的解法289

3.1 高阶常系数齐次线性微分方程的解法290

3.2 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法294

习题 14.3301

第四节 常系数线性微分方程组的解法303

4.1 常系数齐次线性微分方程组的解法304

4.2 常系数非齐次线性微分方程组的解法311

习题 14.4315

5.1 Euler方程317

第五节 变系数线性微分方程的解法317

5.2 降阶法319

5.3 幂级数解法321

习题 14.5325

第六节 微分方程应用举例326

6.1 传染病传播的数学模型326

6.2 Lanchester作战模型与硫黄岛战役330

习题 14.6334

第七节 稳定性理论简介335

7.1 引例336

7.2 稳定性理论简介337

习题 14.7347

第十五章 Lebesgue积分大意349

第五篇 现代分析初步349

第一节 n维空间Rn中点集的测度350

1.1 有界开集、闭集的测度350

1.2 一般有界集的测度352

1.3 无界集的测度356

1.4 可测集类356

习题 15.1357

第二节 可测函数357

2.1 可测函数概念358

2.2 可测函数的性质359

习题 15.2361

第三节 Lebesgue积分及其性质361

3.1 测度有限的集上有界函数的积分362

3.2 测度有限的集上一般函数的积分366

3.4 Lebesgue控制收敛定理及Fubini定理371

3.3 测度无限的集上的积分371

习题 15.3373

第十六章 无穷维空间简介375

第一节 距离空间376

1.1 距离空间概念及其极限376

1.2 距离空间的完备性380

1.3 距离空间的紧致性381

习题 16.1383

第二节 线性赋范空间及线性有界算子384

2.1 线性赋范空间概念384

2.2 线性有界算子387

第三节 内积空间与Fourier分析389

习题 16.2389

3.1 内积与内积空间390

3.2 正交与投影定理393

3.3 标准正交系与Fourier级数394

3.4 关于Fourier级数的收敛性问题396

习题 16.3398

第四节 不动点定理及其应用399

4.1 不动点概念与不动点定理399

4.2 Banach压缩映射不动点定理400

4.3 应用举例401

习题 16.4403

习题答案与提示404

主要参考书448