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第一章 函数 极限 连续1

1.1 河面上水流的速度问题1

目录1

1.2 钢珠测内径问题2

1.3 曲柄连杆驱动机构问题2

1.4 偏心驱动机构问题3

1.5 三星轧床宽度的调节4

1.6 上岸点问题4

1.7 四面体上截面面积问题6

1.9 铁丝温度问题7

1.8 当圆心角趋近于零时研究无穷小弓形面积与高的关系7

1.10 四脚方椅的稳定问题8

1.11 光滑的封闭曲线至少有一个外切正方形9

练习一10

1.12 牛头刨床的驱动机构问题10

1.13 克服静摩擦力的最小拉力11

1.14 单调增加函数图形与其反函数图形的交点11

1.15 黄山旅游问题11

练习一 解答11

第二章 一元函数微分学13

2.2 倒数螺旋线与阿基米德螺旋线的正交性14

2.1 曲线运动的向心力问题14

2.3 两辆汽车的加速度问题16

2.4 汽车加速度问题17

2.5 油层在海面上的扩散问题18

2.6 开窗机构18

2.7 讨论两条曲线交点的个数19

2.8 求曲线的斜渐近线20

2.9 关于最小二乘原理22

2.10 两辆汽车之间的最近距离问题22

2.11 怎样使野生动物乐园的面积最大23

2.12 磁盘上字节数的最大值24

2.13 圆锥形容器的容积问题25

2.14 灯柱的最佳高度27

2.15 最佳射门点问题28

2.16 斜抛物体的投射角问题28

2.17 枪榴弹打到了日本鬼子的头上29

2.18 最短折痕问题30

2.19 充分利用纸张面积的版面安排31

2.20 最小润周问题31

2.21 筷子问题32

2.22 大街小巷问题33

2.23 梯子长度问题33

2.24 费尔马折射定律34

2.25 转运站问题35

2.26 学校的选址问题36

2.27 耕牛饮水路线问题37

2.28 怎样才能使炮弹内装的弹药最多38

2.29 高速公路上前后两辆汽车间的间距问题39

2.30 最经济的航行速度问题40

2.33 轮子匀速滚动时轮子边缘一个定点的运动速度41

2.35 液面何时升高得最快41

2.34 圆的切线的一个性质41

2.32 标枪枪头的运动轨迹问题41

2.31 共焦椭圆与双曲线必正交41

练习二41

2.36 外圆磨床砂轮的径向切入速度42

2.37 抗弯截面模量的最大值问题42

2.38 浮筒体积的最大问题42

2.39 Y形屋撑问题42

2.40 另一个筷子问题43

2.41 分针与时针针尖之间相离速度何时最大43

2.42 变压器铁芯的最小外接圆43

2.43 抛物线上最短法线弦43

2.44 树干木材的增长率问题43

练习二 解答44

第三章 一元函数积分学51

3.1 根据导函数图形求函数的最大值和最小值51

3.2 根据函数图形求有关定积分52

3.3 八月中秋吃月饼一个月饼四等分52

3.4 求n—1条曲线将给定的曲边三角形面积n等分53

3.5 “抛物线弓形”面积的最小值54

3.6 铁路、公路与盘山小路长度之比较55

3.7 证明两条闭曲线之周长相等55

3.8 求一条曲线的全长56

3.10 求体积的辛普森公式57

3.9 求一条以极径为自变量的极坐标曲线之长度57

3.11 餐巾环问题59

3.12 底部有洞的容器还能盛多少水60

3.13 比较这些旋转体的体积61

3.14 圆柱形的容器何时会露出底部62

3.15 求旋转体体积的最小值62

3.16 可变旋转体体积的二阶导数63

3.17 有两个拐点的四次曲线的一个特性64

3.18 潜艇观察窗窗面上所受到的水压力65

3.19 把链条全部拉上桌面需要作的功67

3.20 击水泥桩入泥土中的作功问题68

3.21 汽缸内气体的膨胀功69

3.23 抽水作功问题70

3.22 清除井底污泥需作的功70

3.24 水中提取物体所做的功问题71

3.25 质线对质点的引力问题72

3.26 质线的质心74

3.27 单调增加函数的平均值也是单调增加函数74

3.28 函数在无穷区间上的平均值75

3.29 圆内平行弦长度的平均值76

3.30 非负连续函数的平均值不大于它的均方根77

3.32 水从容器侧壁上的矩形孔中流出的流量78

3.31 容器内液面升高的速度78

3.33 伐木工如何砍树的问题79

3.34 珠子沿曲线下滑所需要的时间80

3.35 这场大雪是从何时开始下的81

3.36 怎样解释“一桶”油漆无法涂满油漆桶的表面81

练习三82

3.37 抛物线下曲边三角形面积的一个性质82

3.38 两条曲线长度之比较82

3.44 求一个曲边三角形面积变化率的最大值83

3.43 三次曲线的一个特性83

3.42 求一条曲线，使它与给定直线所围图形绕x轴旋转所得立体的体积最小83

3.41 铁球刚好全部浸没在容器所盛的液体中的条件83

3.40 底部的洞不在边缘的情况下容器还能盛多少水83

3.39 曲线弧长与切线倾角之间的关系83

3.45 正放梯形板与倒放梯形板一侧所受水压力之比84

3.46 克服弹性恢复力所作的功84

3.47 引力所作的功84

3.48 不均匀筷子的平衡问题84

3.49 圆内过圆周上一个定点的弦长之均方根84

3.50 原点在等轴双曲线切线上投影轨迹曲线所围图形之面积84

3.51 子弹弹道的最大长度84

练习三 解答85

第四章 向量 空间解析几何92

4.1 垂直渡河问题92

4.2 风向问题92

4.3 三角形的面积公式93

4.4 内积的最值问题93

4.5 线段被坐标面等分的问题94

4.6 两个质点之间的最小距离95

4.7 运动质点系的质心轨迹问题95

4.8 质点系质心的一个性质96

4.9 空间直线关于平面镜的镜像97

4.10 求高射炮的火力范围98

4.11 蚂蚁在圆锥面上走过的轨迹99

4.12 立体在坐标面上的投影区域100

练习四101

4.13 三个匀速运动之质点构成的运动三角形面积的变化趋势101

4.14 过给定直线作一个与坐标原点距离最远的平面101

4.15 与z轴不共面的直线绕z轴旋转所得的曲面方程101

4.16 圆柱面螺旋线的切线与中心轴的夹角101

4.17 求一个旋转曲面的面积与该曲面所围成的立体体积101

4.18 第一宇宙速度问题101

练习四 解答102

第五章 多元函数微分学105

5.1 并联可变电阻总电阻的调节问题106

5.2 转动惯量的最小值问题107

5.3 圆内接多边形面积的最大值107

5.4 再谈野生动物乐园的面积问题109

5.5 关于两条线段乘积的最小值问题111

5.6 最小润周问题中角度的确定112

5.7 节约用水很重要——洗衣淘米问题113

5.8 开凿运河的问题114

5.9 三个海岛之间的三角形环形航线问题115

5.10 鲨鱼的进击路线117

5.12 屋顶上雨滴流动的轨迹118

5.11 攀岩路线问题118

5.13 证明给定曲面是柱面119

5.14 切平面经过定点的一个曲面120

5.15 证明两族曲面正交121

练习五121

5.16 转运站问题之再讨论121

5.20 热锅上的蚂蚁往何处逃122

练习五 解答122

5.21 曲面f(x2+y2,z)=0的法线122

5.19 三个海岛之间的三角形网的面积问题122

5.18 最大过水面积问题122

5.17 边长确定的四边形面积何时最大122

第六章 多元函数积分学127

6.1 管道内流体的平均流速127

6.2 平面薄板一侧所受的水压力定理128

6.3 一壶咖啡能倒满几杯129

6.4 球状容器何时会露出底部130

6.5 “不倒翁”的身高132

6.6 “贱骨头”陀螺停止转动后其中心轴与地面的夹角133

6.7 半环体质心在环面上的条件134

6.8 球体对球体内一个质点的引力135

6.9 椭球体关于过其中心的直线的转动惯量及其最值136

6.10 潮涨潮落间小岛露出海面的面积之比138

6.11 雪堆融化问题139

6.12 人口分布密度的统计模型141

6.13 消防车喷水枪喷水速度与枪口面积成反比141

6.14 均匀球面对球面上一质点的引力142

6.15 地球对彗星引力所作的功144

6.16 陀螺的转动动能145

6.17 地球上空空气的总量问题146

6.18 航天器密封舱在海面上的溅落问题146

6.19 曲顶柱面的面积147

6.20 阿基米德浮力定理148

练习六149

6.21 三个正交圆柱面所界立体的体积149

6.22 半椭球体稳定平衡的条件149

6.23 惠更斯平行轴定理149

6.24 大球内挖去两个小球后所剩下立体的转动惯量149

6.25 空心球体对中空部分一个质点的引力149

6.26 匀质正方体关于过中心轴之转动惯量与轴的方向无关149

6.27 球形压力容器的周向应力问题149

6.30 戈鲁金定理150

练习六 解答150

6.29 利用第一型曲线积分求旋转曲面面积150

6.28 平面薄板在坐标面上投影区域的形心150

第七章 微分方程157

7.1 求与给定曲线族对应的微分方程157

7.2 曳物线问题158

7.3 小船的航线159

7.4 鸭子的游动路线160

7.5 猎狗互相追逐问题161

7.6 旋转容器内液面形状问题162

7.7 电动机降温问题162

7.8 容器内溶液的含盐量问题163

7.9 半球形漏斗的漏水问题164

7.10 污水治理问题165

7.11 冷却定理与破案问题166

7.12 新技术的推广问题167

7.13 二级化学反应的速度问题168

7.14 卫星信号接收天线（小耳朵）的形状问题169

7.15 桥墩形状问题170

7.16 “恩恩爱爱纤绳荡悠悠”——悬链线问题171

7.17 第二宇宙速度问题173

7.18 炮仗能飞多高174

7.19 关闭动力的汽艇还能滑行多远175

7.20 弹簧振动问题176

7.21 链条沿桌面滑动问题177

7.22 浮筒的振动问题178

7.23 逮住走私船——追线问题179

7.24 冰雹下落的速度问题180

7.25 雨滴下落的速度问题181

7.26 单摆（数学摆）小幅摆动的等时性182

7.27 小钢珠在上凹曲线底部来回滚动的周期183

7.28 等速下降曲线问题184

7.29 容器侧壁形状问题185

7.30 曲边梯形面积与曲边弧长成正比的曲线方程186

7.31 两条切线在y轴上截下来的线段与弧长相等的问题187

7.34 小虫爬行的轨迹问题188

7.35 就下列各种不同容器的情况重解7.9题188

练习七188

7.33 与给定曲线族正交的曲线族问题188

7.32 求以给定曲线族为通积分曲线族的微分方程188

7.36 新鲜空气的输入速度问题189

7.37 中间储槽的容积问题189

7.38 马王堆一号汉墓年代的考证189

7.39 降落伞着地时的速度问题189

7.40 子弹击穿木板问题189

7.45 弓形面积有确定表达式的曲线方程190

7.44 另一个容器侧壁形状问题190

练习七 解答190

7.42 绳索在钉子上滑动问题190

7.43 核废料桶的处理问题190

7.41 弹性横梁的振动问题190

第八章 数列 级数197

8.1 无限连分数与黄金分割问题197

8.2 兔子的繁殖（斐波那契数列）与黄金数之间的关系199

8.3 猪肉产销的蛛网模型200

8.4 一个与n值有关的方程根xn所构成数列的极限202

8.5 一个与切线有关的级数问题204

8.7 利用级数方法来证明关于循环小数的算术命题205

8.6 一个与面积有关的级数问题205

8.8 这个十进位无限小数是有理数吗206

8.9 银行存款问题207

8.10 追踪运动信号源208

练习八209

8.11 另一个与n值有关的方程根xn所构成数列的极限209

8.12 一个与递归定义数列有关的数列的极限209

8.13 一个与广义面积有关的级数问题209

8.14 一个与n值有关的方程根xn所构成级数的敛散性209

练习八 解答210

9.1 如何定价可使利润最大212

第九章 经济方面的应用212

9.2 如何确定日产量以获取最大效益213

9.3 涨价对销售收入的影响213

9.4 求使平均成本为最小的生产水平215

9.5 关于市场的饱和需求量与需求量增加率的问题215

9.6 关于经济订购批量和批次问题216

9.7 确定适当的生产水平使税后利润有最大值217

9.8 使利润最大的最优广告支出218

9.10 求投资的回收期及投资的资本价值219

9.9 已知边际成本和边际收入求最大利润219

9.11 选择哪一个方案领取住房补贴220

9.12 转售机器的最佳时间221

9.13 同一产品在两个不同市场上的销售策略223

9.14 两种不同产品在同一市场上的销售策略224

9.15 如何确定鱼苗的投放量225

9.16 最优广告投入策略225

9.17 根据弹性求需求函数226

9.20 新酿的好酒窖藏多少年后出售可使销售收入的现值最大227

9.19 用收益对需求的边际、收益对价格的边际以及需求对价格的弹性来表示价格和需求量227

9.21 何时停产（停止新的投入）可使企业获最大利润227

练习九227

9.18 证明固定替代弹性生产函数的极限就是C-D生产函数227

9.22 在产量确定的条件下，求两种要素的投入量使投入总费用最省228

9.23 在两种要素的投入总费用确定的条件下，求产量的最大值228

9.24 关于Cobb-Douglas生产函数弹性与边际的某些性质228

9.25 一个差分方程的求解问题228

练习九 解答228

第十章 线性代数232

10.1 两条空间直线之间的关系232

10.2 平面上三条直线共点的充要条件233

10.4 空间四个点不共面的充要条件235

10.3 三张平面之间的相对位置235

10.5 平面曲线的曲率具有正交变换不变性236

10.6 光滑曲线的弧长具有正交变换不变性237

10.7 简单光滑闭曲线所围图形的面积具有正交变换不变性238

10.8 给定曲面是椭球面的充分必要条件239

10.9 判断方程所表示的曲面形状240

10.10 证明所给曲面是圆锥面241

10.11 二元函数取得极值的充分条件243

10.12 经过技术培训后熟练工和非熟练工的比例244

10.17 曲面在坐标面上的投影246

10.16 判断给定方程所表示的曲面形状246

10.15 两向量之间的夹角具有正交变换不变性246

10.14 三曲面在公共点处法向量线性相关的一个充分条件246

10.13 平面上不共线的三点所确定的圆的方程246

练习十246

练习十 解答247

第十一章 概率论与数理统计251

11.1 蒲丰掷针试验251

11.2 敌方军事目标被炸中的概率253

11.3 求“带了伞但没下雨”和“天下雨而没带伞”的概率253

11.4 方程有实数根的概率254

11.5 候车问题255

11.6 药效的判断问题256

11.7 与圆周上任一点有关的随机变量的分布问题257

11.8 投篮次数的分布258

11.9 随机投点问题259

11.10 呼叫信号的平均次数259

11.11 利润的期望值260

11.12 哪一种化验方案好261

11.13 票券收集问题262

11.14 汽车载重量问题264

11.15 电话线路设置问题265

11.16 不合格品率的估计问题265

11.17 无偏估计及有效性266

11.19 炮弹的炮口速度的标准差的置信区间267

11.18 居民对某种商品的平均需求量的估计问题267

11.20 不同方案下平均产量之差的置信区间268

11.21 矩形工艺品是否为黄金矩形269

11.22 包装机是否正常工作269

11.23 杜鹃蛋的长度是否与被它们所占据的鸟巢有关270

11.24 不同银行储户的平均年存款余额有无显著差异270

练习十一271

11.25 圆周上两点问弦长在某个范围的概率271

11.30 最佳库存量272

11.33 保险公司理赔问题272

11.32 汽车通过的路口数的分布272

11.31 产品数的期望与方差272

11.27 新药有效的概率272

11.29 最佳批销量272

11.28 商场内不同性别顾客人数的分布问题272

11.26 信号传输问题272

11.34 平均工时的置信限273

11.35 饭店的优惠措施对订位率是否有显著影响273

11.36 不同方案对产品得率的影响273

练习十一 解答273

参考文献278