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第一章 函数与极限1

§1 函数1

§1．1 函数的概念1

§1．2 具有某些特性的函数5

习题1-19

§2 数列极限11

§2．1 数列极限的概念11

§2．2 收敛数列的性质16

§2．3 数列极限存在的准则19

§2．4 数列极限存在的准则(续)24

习题1-226

§3 函数极限27

§3．1 函数极限的概念27

§3．2 函数极限的性质30

§3．3 函数极限存在的准则32

§3．4 函数极限存在的准则(续)34

§3．5 两个重要极限35

§3．6 无穷小量、无穷大量、阶的比较39

习题1-344

§4 函数的连续性45

§4．1 函数连续的概念45

§4．2 连续函数的局部性质48

§4．3 闭区间上连续函数的性质49

§4．4 初等函数在其定义域区间上的连续性51

§4．5 闭区间上连续函数性质的证明53

§4．6 一致连续55

习题1-457

第一章综合题58

第二章 导数与微分60

§1 导数60

§1．1 导数的概念60

§1．2 导数的基本公式与运算法则64

§1．3 参数式函数与隐函数的导数72

§1．4 高阶导数75

§1．5 导数在实际中的应用79

习题2-181

§2 微分86

§2．1 微分的概念86

§2．2 微分的基本性质88

§2．3 近似计算与误差估计90

§2．4 高阶微分91

习题2-292

第二章综合题93

§1．1 费马定理、最大(小)值95

第三章 微分中值定理及导数的应用95

§1 微分中值定理95

§1．2 罗尔定理97

§1．3 拉格朗日定理、函数的单调区间98

§1．4 柯西定理103

习题3-1104

§2 未定式的极限106

§2．1 0/0型未定式的极限106

§2．2 ∞/∞型未定式的极限108

§2．3 其它类型未定式的极限110

习题3-2112

§3．1 泰勒定理113

§3 泰勒定理、函数极值判定113

§3．2 几个常用函数的麦克劳林公式115

§3．3 带有佩亚诺余项的泰勒公式116

§3．4 泰勒公式的应用118

§3．5 函数极值的判定120

习题3-3121

§4 数学建模初步(一)122

习题3-4127

§5 函数图形的凹向与拐点129

习题3-5131

§6．1 曲线的渐近线132

§6 函数图形的描绘132

§6．2 函数图形的描绘133

习题3-6135

§7 导数在经济中的应用135

§7．1 经济中常用的一些函数135

§7．2 边际分析137

§7．3 弹性分析139

习题3-7141

§8 曲率143

§8．1 曲率143

§8．2 曲率圆145

习题3-8147

§9 方程的近似根147

§9．1 图解法148

§9．2 数值法148

习题3-9153

第三章综合题153

第四章 不定积分155

§1 不定积分的概念155

§1．1 原函数与不定积分155

§1．3 不定积分的性质156

§1．2 基本积分156

习题4-1158

§2 不定积分的几种基本方法158

§2．1 凑微分法(第一换元法)158

§2．2 变量代换法(第二换元法)160

§2．3 分部积分法163

习题4-2166

§3 某些特殊类型函数的不定积分168

§3．1 有理函数的不定积分168

§3．2 三角函数有理式的不定积分172

§3．3 某些无理函数的不定积分175

习题4-3178

第四章综合题179

第五章 定积分及其应用180

§1 定积分概念180

§1．1 定积分的定义180

§1．2 可积函数类184

习题5-1186

§2 定积分的性质和基本定理186

§2．1 定积分的基本性质187

§2．2 微积分学基本定理190

习题5-2193

§3 定积分的计算方法194

§3．1 几种基本的定积分计算方法194

§3．2 几种简化的定积分计算方法197

习题5-3202

§4 定积分的应用203

§4．1 平面图形的面积203

§4．2 立体及旋转体的体积207

§4．3 微元法及应用209

§4．4 定积分在物理中的应用216

§4．5 定积分在经济中的应用220

习题5-4222

§5 广义积分224

§5．1 无穷区间上的广义积分224

§5．2 无界函数的广义积分227

§5．3 广义积分敛散性的判别法229

§5．4 Γ函数233

习题5-5235

§6 定积分的近似计算236

§6．1 矩形法236

§6．2 梯形法236

§6．3 抛物线法237

习题5-6238

第五章综合题239

第六章 常微分方程241

§1 基本概念241

习题6-1244

§2 可分离变量方程244

§2．1 可分离变量方程244

§2．2 齐次微分方程246

习题6-2248

§3 一阶线性微分方程249

§3．1 一阶线性微分方程249

§3．2 伯努利(Bemoulli)方程252

习题6-3253

§4 全微分方程254

习题6-4255

§5 可降阶的二阶微分方程255

§5．1 (d~2y)/(dx~2)=f(x)型微分方程255

§5．2 (d~2y)/(dx~2)=f(x，dy/dx)型微分方程256

§5．3 (d~2y)/(dx~2(=f(y，dy/dx)型微分方程258

习题6-5259

§6 二阶线性微分方程解的结构260

习题6-6262

§7．1 二阶常系数线性齐次方程及其解法263

§7 二阶常系数线性微分方程的解法263

§7．2 二阶常系数线性非齐次方程的解法265

§7．3 欧拉方程271

习题6-7272

§8 常系数线性微分方程组273

习题6-8275

§9 二阶常系数线性微分方程的一般解法275

§9．1 降阶法275

§9．2 常数变易法276

§10 数学建模(二)——微分方程在几何、物理中的应用举例278

习题6-9278

§11 差分方程284

§11．1 差分方程的基本概念284

§11．2 一阶线性差分方程286

§11．3 二阶常系数线性差分方程289

习题6-11291

第六章综合题292

附录Ⅰ 线性空间与映射293

附录Ⅱ 可积函数类的证明297

附录Ⅲ 积分表302

习题答案308