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第1章　函数、极限与连续1

1.1 函数概述1

一、函数的基本概念1

二、函数的基本特性3

三、函数的基本运算4

四、初等函数与分段函数6

五、无穷数列11

习题1.113

1.2　极限的概念15

一、数列的极限15

二、自变量趋于无穷大时函数的极限18

三、自变量趋于有限值时函数的极限19

习题1.224

1.3　无穷小与无穷大25

一、无穷小25

二、无穷大27

习题1.328

1.4　极限的性质29

一、极限存在条件下函数的局部性质29

二、极限的性质30

习题1.431

1.5　极限运算法则与极限存在准则32

一、极限的四则运算法则32

二、复合函数的极限运算法则37

三、极限存在准则38

习题1.540

1.6　两个重要极限与等价无穷小替换的应用42

一、两个重要极限的应用42

二、无穷小等价替换的应用45

习题1.647

1.7　极限的初步应用48

一、比较无穷小的阶48

二、求曲线的渐近线50

习题1.751

1.8 函数的连续性与间断点52

一、函数连续的概念52

二、连续函数的运算与初等函数的连续性54

三、分段函数连续性的讨论55

四、函数的间断点56

习题1.858

1.9　闭区间上连续函数的性质60

一、最值定理与有界定理60

二、介值定理与零点定理61

习题1.963

综合测试题一63

第2章　微分与导数67

2.1　微分的概念与基本性质67

一、微分的概念67

二、微分的基本性质69

习题2.172

2.2　导数的概念与基本性质72

一、导数的概念72

二、导数的意义77

三、导数的基本性质78

四、微分学基本概念的定义形式及其关系小结80

习题2.281

2.3　导数与微分的运算法则及求法（一）82

一、基本导数公式与基本微分公式82

二、导数与微分的四则运算法则83

习题2.386

2.4　导数与微分的运算法则及求法（二）87

一、复合函数的求导法则与微分法则87

二、反函数的求导法则91

三、分段函数在分段点处导数的求法92

习题2.495

2.5　高阶导数96

一、高阶导数的概念96

二、高阶导数的求法97

习题2.5100

2.6 隐函数与参数函数的导数及相关变化率101

一、隐函数的导数101

二、参数函数的导数103

三、相关变化率106

习题2.6107

综合测试题二109

第3章　微分中值定理和导数的应用112

3.1　微分中值定理112

一、罗尔定理112

二、拉格朗日定理114

三、柯西定理117

习题3.1118

3.2 函数的增减性与极值　最大值与最小值119

一、函数的增减性119

二、函数的极值122

三、最大值与最小值124

四、解几何与实际问题中的最值问题126

习题3.2127

3.3 曲线的凹凸性与拐点 曲率129

一、曲线的凹凸性与拐点129

二、曲线的曲率132

习题3.3134

3.4　函数图像的描绘136

一、直角坐标系下曲线的描绘136

二、极坐标系下曲线的描绘137

三、极坐标表示的曲线的切线斜率与曲率139

习题3.4140

3.5　洛必达法则141

一、关于0/0和∞/∞型未定式的洛必达法则141

二、其他类型未定式的极限144

三、不能直接用洛必达法则计算的极限举例146

习题3.5148

3.6　泰勒公式150

一、带佩亚诺余项的泰勒公式150

二、带拉格朗日余项的泰勒公式154

三、高阶微分的概念与高阶导数的记号156

习题3.6157

综合测试题三158

第4章　定积分与不定积分161

4.1　定积分的概念与基本性质161

一、定积分的概念161

二、定积分的几何意义166

三、定积分的基本性质166

四、奇偶函数的定积分168

习题4.1168

4.2　不定积分的概念与微积分基本定理170

一、原函数的概念170

二、不定积分的概念172

三、不定积分的基本性质174

四、牛顿-莱布尼茨公式174

习题4.2176

4.3　积分公式与积分方法（一）177

一、基本积分公式178

二、分项积分法179

三、分段积分法181

习题4.3182

4.4　积分公式与积分方法（二）183

一、不定积分拼凑微分法183

二、定积分拼凑微分法191

习题4.4191

4.5　积分公式与积分方法（三）193

一、不定积分分部积分法193

二、定积分分部积分法197

习题4.5199

4.6　积分公式与积分方法（四）200

一、不定积分变量替换法200

二、定积分变量替换法206

三、积分法注记与特殊积分法210

习题4.6211

4.7　变限积分函数与定积分中值定理214

一、变限积分函数214

二、定积分中值定理217

三、积分学基本概念及其导数小结220

习题4.7221

4.8　反常积分223

一、无限区间上的反常积分224

二、有无穷间断点的反常积分226

三、Γ函数与β函数229

习题4.8230

综合测试题四232

第5章　定积分的应用236

5.1　定积分的微元法236

一、曲边梯形面积建立过程的简化236

二、微元法237

习题5.1238

5.2　平面图形的面积238

一、直角坐标情形238

二、极坐标情形241

习题5.2242

5.3　体积243

一、旋转体的体积243

二、平行截面面积为已知的立体的体积245

习题5.3246

5.4　平面曲线的弧长与旋转曲面的面积248

一、平面曲线的弧长248

二、旋转曲面的面积249

习题5.4250

5.5　定积分在物理上的应用251

一、变力沿直线作功251

二、液体静压力253

三、引力254

习题5.5255

综合测试题五256

第6章　微分方程260

6.1　微分方程的基本概念260

一、微分方程及其阶260

二、微分方程的解、通解、特解与初始条件261

三、微分方程的形式263

习题6.1263

6.2　一阶可分离变量的微分方程264

一、可分方程264

二、齐次方程266

习题6.2267

6.3　一阶线性微分方程268

一、线性方程268

二、伯努利方程272

三、积分因子法的一个应用273

习题6.3274

6.4　二阶可降阶的微分方程275

一、y″＝f（x,y′）型275

二、y″＝f（y,y′）型276

习题6.4278

6.5　二阶线性常系数微分方程（一）278

一、二阶线性方程及其解的结构279

二、二阶线性常系数齐次方程的解法280

习题6.5283

6.6　二阶线性常系数微分方程（二）284

一、两类特殊的二阶线性常系数非齐次方程的解法284

二、一般的二阶线性常系数非齐次方程的解法289

三、欧拉方程290

习题6.6292

6.7　微分方程的应用292

一、几何中的应用293

二、其他应用294

习题6.7298

综合测试题六300

第7章　无穷级数304

7.1 常数项级数的概念与性质304

一、常数项级数的概念304

二、收敛级数的基本性质307

三、级数收敛的必要条件309

习题7.1310

7.2　数项级数的审敛法（一）311

一、正项级数的概念311

二、正项级数的审敛法311

习题7.2315

7.3　数项级数的审敛法（二）316

一、交错级数及其审敛法316

二、绝对收敛与条件收敛318

习题7.3320

7.4　幂级数321

一、函数项级数的概念321

二、幂级数及其收敛性322

三、幂级数的运算及其性质325

四、求幂级数的和函数327

习题7.4329

7.5　函数展开成幂级数331

一、函数展开成幂级数的概念与条件331

二、函数间接展开成幂级数334

三、幂级数展开式的应用337

四、欧拉公式339

习题7.5340

7.6　傅里叶级数341

一、三角级数及其基本性质342

二、周期为2π的函数展开成傅里叶级数343

三、非周期函数展开成傅里叶级数346

习题7.6350

7.7　一般函数的傅里叶级数352

一、一般函数的傅里叶级数352

二、傅里叶级数的复数形式354

习题7.7356

综合测试题七356

第8章　向量代数与空间解析几何360

8.1 向量及其线性运算360

一、向量的概念360

二、向量的线性运算361

习题8.1364

8.2　空间直角坐标系 向量的坐标364

一、空间直角坐标系364

二、向量的分解与向量的坐标366

三、向量的模与方向余弦的坐标表示368

四、向量线性运算的坐标表示369

习题8.2370

8.3　向量的乘积371

一、两向量的数量积371

二、两向量的向量积373

三、向量的混合积377

习题8.3378

8.4　平面及其方程380

一、平面的点法式方程380

二、平面的一般式方程381

三、平面的截距式方程382

四、两平面的夹角382

习题8.4383

8.5　空间直线及其方程384

一、空间直线的点向式方程与参数式方程384

二、空间直线的一般式方程385

三、两直线的夹角386

四、直线与平面的夹角与交点387

五、直线的平面束方程388

习题8.5389

8.6　平面与直线方程的应用390

一、求投影390

二、求距离391

习题8.6393

8.7　曲面及其方程394

一、曲面方程394

二、球面394

三、柱面395

四、旋转曲面396

五、二次曲面397

习题8.7399

8.8　空间曲线及其方程400

一、空间曲线的一般方程与参数方程400

二、空间曲线在坐标面上的投影402

三、一般柱面和旋转曲面403

习题8.8405

8.9　柱面坐标与球面坐标406

一、柱面坐标407

二、球面坐标408

习题8.9410

综合测试题八410

第9章　多元函数微分学413

9.1 多元函数413

一、区域413

二、多元函数的概念415

三、多元函数的极限417

四、多元函数的连续性418

习题9.1420

9.2　偏导数与全微分的概念与基本性质421

一、偏导数421

二、高阶偏导数424

三、全微分426

四、全微分在近似计算中的应用429

习题9.2430

9.3　复合函数的求导法则431

一、一元函数与多元函数复合的情形431

二、多元函数与多元函数复合的情形434

三、其他情形435

四、全微分形式不变性437

习题9.3438

9.4　隐函数的求导公式439

一、一个方程的情形440

二、多个方程的情形443

习题9.4444

9.5　多元微分学在几何上的应用446

一、空间曲线的切线与法平面446

二、曲面的切平面与法线447

三、利用微分法求曲线的切向量和曲面的法向量450

习题9.5451

9.6　多元函数的极值及其应用452

一、二元函数的极值概念及求法452

二、条件极值，拉格朗日乘数法454

三、多元函数的最大值与最小值的应用456

四、二元函数的泰勒公式458

习题9.6461

9.7　方向导数与梯度462

一、方向导数462

二、梯度464

习题9.7466

综合测试题九468

第10章　二重积分与三重积分471

10.1 二重积分与三重积分的概念和性质471

一、二重积分的概念471

二、二重积分的性质473

三、三重积分的概念与性质474

习题10.1475

10.2　二重积分的计算（一）476

一、利用直角坐标计算二重积分476

二、二次积分交换积分次序481

三、利用对称性计算二重积分483

习题10.2485

10.3　二重积分的计算（二）487

一、利用极坐标计算二重积分487

二、二重积分的一般变量替换490

习题10.3492

10.4　三重积分的计算（一）494

一、利用直角坐标计算三重积分494

二、利用对称性计算三重积分498

习题10.4499

10.5　三重积分的计算（二）500

一、利用柱面坐标计算三重积分500

二、利用球面坐标计算三重积分501

三、三重积分的一般变量替换504

习题10.5505

10.6　重积分的应用507

一、几何应用（曲面面积）507

二、物理应用508

习题10.6513

综合测试题十515

第11章　曲线积分与曲面积分519

11.1 对弧长的曲线积分519

一、对弧长的曲线积分的概念与性质519

二、对弧长的曲线积分的计算521

三、对弧长的曲线积分的应用524

习题11.1525

11.2　对坐标的曲线积分526

一、对坐标的曲线积分的概念与性质526

二、对坐标的曲线积分的计算528

三、对坐标的曲线积分的应用532

习题11.2532

11.3　格林公式及其应用534

一、格林公式534

二、平面上曲线积分与路径无关的条件与二元函数的全微分求积538

三、全微分方程542

习题11.3543

11.4　对面积的曲面积分545

一、对面积的曲面积分的概念与性质545

二、对面积的曲面积分的计算546

三、对面积的曲面积分的应用549

习题11.4549

11.5　对坐标的曲面积分550

一、对坐标的曲面积分的概念与性质550

二、对坐标的曲面积分的计算553

三、对坐标的曲面积分的应用557

习题11.5558

11.6　高斯公式和斯托克斯公式559

一、高斯公式559

二、斯托克斯公式560

习题11.6563

11.7　场论初步565

一、场的概念565

二、向量场的通量与散度565

三、向量场的环量与旋度567

四、向量微分算子与“三度”568

五、有势场和势函数569

习题11.7570

综合测试题十一571

习题、综合测试题参考答案575