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第一章 曲线论1

1 向量函数1

1.1 向量函数的极限1

1.2 向量函数的连续性3

1.3 向量函数的微商3

1.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式5

1.5 向量函数的积分6

2 曲线的概念9

2.1 曲线的概念9

2.2 光滑曲线 曲线的正则点11

2.3 曲线的切线和法平面13

2.4 曲线的弧长 自然参数15

3 空间曲线19

3.1 空间曲线的密切平面19

3.2 空间曲线的基本三棱形21

3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式24

3.4 空间曲线在一点邻近的结构29

3.5 空间曲线论的基本定理31

3.6 一般螺线34

第二章 曲面论37

1 曲面的概念37

1.1 简单曲面及其参数表示37

1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线39

1.3 曲面上的曲线族和曲线网43

2 曲面的第一基本形式45

2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长45

2.2 曲面上两方向的交角47

2.3 正交曲线族和正交轨线48

2.4 曲面域的面积48

2.5 等距变换49

2.6 保角变换51

3 曲面的第二基本形式53

3.1 曲面的第二基本形式53

3.2 曲面上曲线的曲率57

3.3 迪潘（Dupin）指标线60

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向61

3.5 曲面的主方向和曲率线62

3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率65

3.7 曲面在一点邻近的结构69

3.8 高斯曲率的几何意义71

4 直纹面和可展曲面76

4.1 直纹面76

4.2 可展曲面78

4.3 线汇84

5 曲面论的基本定理85

5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号86

5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯－科达齐－迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式88

5.3 曲面论的基本定理91

6 曲面上的测地线95

6.1 曲面上曲线的测地曲率95

6.2 曲面上的测地线97

6.3 曲面上的半测地坐标网99

6.4 曲面上测地线的短程性101

6.5 高斯－波涅（Gauss-Bonnet）公式103

6.6 曲面上向量的平行移动105

6.7 极小曲面109

7 常高斯曲率的曲面112

7.1 常高斯曲率的曲面112

7.2 伪球面113

7.3 罗氏几何117

第三章 外微分形式和活动标架122

1 外微分形式122

1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数122

1.2 外微分形式125

1.3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理131

2 活动标架142

2.1 合同变换群142

2.2 活动标架143

2.3 活动标架法150

3 用活动标架法研究曲面152

3.1 曲面论的基本定理152

3.2 曲面的第一和第二基本形式153

3.3 曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率154

3.4 曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率155

3.5 曲面上向量的平行移动157

3.6 闭曲面的高斯－波涅公式159

第四章 整体微分几何初步162

1 平面曲线的整体性质162

1.1 旋转数162

1.2 凸曲线166

1.3 等周不等式169

1.4 四顶点定理172

1.5 等宽曲线173

1.6 平面上的克罗夫顿（Crofton）公式174

2 空间曲线的整体性质177

2.1 芬切尔（Fenchel）定理177

2.2 球面上的克罗夫顿公式181

2.3 法里－米尔诺（Fáry-Milnor）定理183

2.4 闭曲线的全挠率186

3 曲面的整体性质188

3.1 曲面的整体定义188

3.2 曲面的一般性质192

3.3 卵形面194

3.4 完备曲面207

3.5 负常高斯曲率的曲面212

4 完备曲面的比较定理218

4.1 完备曲面上的极坐标系218

4.2 完备曲面的比较定理220

4.3 完备曲面的余弦定律221

名词索引224