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引言1

第一章 波动方程1

1 方程的导出、定解条件1

1.弦振动方程的导出1

2.定解条件4

3.定解问题适定性概念6

习题6

2 达朗贝尔(d Alembert)公式、波的传播7

1.叠加原理7

2.弦振动方程的达朗贝尔解法8

3.传播波10

4.依赖区间、决定区域和影响区域10

5.齐次化原理12

习题14

3 初边值问题的分离变量法16

1.分离变量法16

2.解的物理意义19

3.非齐次方程的情形20

4.非齐次边界条件的情形21

习题22

1.膜振动方程的导出23

4 高维波动方程的柯西问题23

2.定解条件的提法26

3.球平均法27

4.降维法30

5.非齐次波动方程柯西问题的解31

习题33

5 波的传播与衰减33

1.依赖区域、决定区域和影响区域33

2.惠更斯(Huygens)原理、波的弥散35

3.波动方程解的衰减36

1.振动的动能和位能37

习题37

6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性37

2.初边值问题解的唯一性与稳定性38

3.柯西问题解的唯一性与稳定性41

习题44

第二章 热传导方程45

1 热传导方程及其定解问题的导出45

1.热传导方程的导出45

2.定解问题的提法46

3.扩散方程48

习题48

1.一个空间变量的情形49

2 初边值问题的分离变量法49

2.圆形区域上的热传导问题52

习题53

3 柯西问题54

1.傅里叶变换及其基本性质54

2.热传导方程柯西问题的求解56

3.解的存在性58

习题59

4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性60

1.极值原理60

2.初边值问题解的唯一性和稳定性61

3.柯西问题解的唯一性和稳定性64

习题65

5 解的渐近性态65

1.初边值问题解的渐近性态65

2.柯西问题解的渐近性态66

习题67

第三章 调和方程68

1 建立方程、定解条件68

1.方程的导出68

2.定解条件和定解问题69

3.变分原理71

习题73

2 格林公式及其应用74

1.格林(Green)公式74

2.平均值定理77

3.极值原理77

4.第一边值问题解的唯一性及稳定性78

习题79

3 格林函数80

1.格林函数及其性质80

2.静电源像法82

3.解的验证85

4.单连通区域的格林函数86

5.调和函数的基本性质87

习题91

4 强极值原理、第二边值问题解的唯一性91

1.强极值原理91

2.第二边值问题解的唯一性93

3.用能量积分法证明边值问题的解的唯一性94

习题95

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结96

1 二阶线性方程的分类96

1.两个自变量的方程96

2.两个自变量的二阶线性方程的化简96

3.方程的分类99

4.例100

5.多个自变量的方程的分类101

习题102

2 二阶线性方程的特征理论103

1.特征概念103

2.特征方程104

3.例106

习题107

3 三类方程的比较108

1.线性方程的叠加原理108

2.解的性质的比较109

3.定解问题提法的比较112

习题115

4 先验估计115

1.椭圆型方程解的最大模估计116

2.热传导方程解的最大模估计116

3.双曲型方程解的能量估计117

4.抛物型方程解的能量估计120

5.椭圆型方程解的能量估计121

习题123

第五章 一阶偏微分方程组124

1 引言124

1.一阶偏微分方程组的例子124

2.一阶方程组与高阶方程的关系126

习题127

2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论127

1.特征方程、特征线128

2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类129

3.将严格双曲型方程组化为对角型130

习题132

3 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题133

1.化为积分方程组133

2.柯西问题解的存在性与唯一性134

3.对初始条件的连续依赖性137

4.依赖区间、决定区域和影响区域137

5.关于柯西问题提法正确性的附注138

习题139

4 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题140

1.广义柯西问题140

2.古尔沙(Goursat)问题140

3.一般角状区域上的边值问题141

习题142

5 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅(Cauchy-Κовалевская)的定理143

1.幂级数解法143

2.柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理144

习题148

2.强解149

1.研究广义解的必要性149

第六章 广义解与广义函数解149

1 广义解149

3.弱解151

习题152

2 广义函数的概念152

1.广义函数的物理背景152

2.广义函数的数学概念153

3.基本函数空间154

4.？′(R″)，？′(R″)，？′(R″)广义函数156

习题157

1.广义函数的极限158

3 广义函数的性质与运算158

2.广义函数的导数159

3.广义函数的乘子159

4.广义函数的卷积160

习题161

4 广义函数的傅里叶变换162

1.？(R )上的傅里叶变换162

2.？(R )上的傅里叶变换163

习题165

5 基本解165

1.柯西问题的基本解165

2.调和方程的基本解168

3.其他类型的基本解169

习题170

第七章 偏微分方程的数值解171

1 调和方程狄利克雷问题的数值解171

1.有限差分法171

2.元体平衡法173

3.有限元素法(里茨(Ritz)法)176

4.有限元素法(伽辽金(Гал？ркин)法)178

2 热传导方程的差分法180

1.一维热传导方程的显式差分格式180

习题180

2.差分格式的收敛性和稳定性182

3.隐式格式及其稳定性184

习题185

3 波动方程的差分法185

1.波动方程初边值问题的差分格式185

2.C-F-L条件(Courant-Friedrichs-Lewy条件)186

习题188

附录Ⅰ 傅里叶级数系数的估计189

附录Ⅱ 张紧薄膜的张力为常值的证明191

附录Ⅲ 特殊函数193