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第一篇 概论3

第一章 预备知识3

1.1 记号和Sobolev空间3

1.1.1 常用的记号3

1.1.2 Sobolev空间4

1.2 Sobolev空间的几个基本定理5

1.3 有限元空间和函数插值6

1.3.1 区域剖分和有限元空间6

1.3.2 Lagrange插值及展开7

1.3.3 ω元、投影型插值和有限元空间Vv k（Ω）9

1.4 基本模型问题和分片Sobolev空间11

1.4.1 基本模型和Lax-Milgram定理11

1.4.2 有限元逼近（Galerkin逼近）13

1.4.3 分片Sobolev空间14

1.5 Green函数和离散Green函数14

1.5.1 Green函数和离散Green函数及一些已有结果14

1.5.2 Green函数Galerkin逼近的逐点估计16

1.6 逼近误差的阶的一个等价定义方法17

1.6.1 经典有限元超收敛理论的一个悖论17

1.6.2 研究超收敛理论应当怎样定义误差的阶？18

1.6.3 广义误差阶的几个性质20

第二章 超收敛理论的基本框架（兼论一维有限元问题的高精度后处理）22

2.1 Legendre多项式与ω多项式（Lobatto多项式）23

2.1.1 定义23

2.1.2 若干性质24

2.1.3 分数次空间Hε26

2.2 一维投影型插值28

2.2.1 定义28

2.2.2 p次投影型插值ipu的逼近性质31

2.3 一维ω元和广义误差阶的定义36

2.3.1 一维ω元的定义36

2.3.2 误差阶的新定义37

2.3.3 计算误差阶的实例38

2.4 一维两点边值问题的有限元逼近的误差估计40

2.4.1 几个引理40

2.4.2 一个等价估计41

2.5 Green函数与有限元的逐点误差估计42

2.5.1 Green函数及其性质42

2.5.2 一个超逼近结果44

2.5.3 有限元的逐点估计和超收敛估计45

2.5.4 Green函数有限元逼近的若干估计47

2.6 两个基本估计、一致超逼近和逐点超收敛性48

2.6.1 基本估计48

2.6.2 局部一致超逼近49

2.6.3 天然的超收敛点50

2.7 插值后处理（对k=1的情形）51

2.7.1 一个引理51

2.7.2 单元片及插值处理算子53

2.7.3 超收敛插值处理54

2.8 超收敛SPR处理54

2.8.1 基本概念54

2.8.2 主要定理57

2.9 一个整体的校正结果58

2.10 后验误差估计60

2.11 一个最佳校正结果61

2.11.1 问题描述和精确有限元61

2.11.2 插值的正交修正63

2.11.3 节点恢复导数的构造66

2.11.4 主要定理及其证明67

第二篇 插值误差的弱估计和超逼近估计第三章 高次矩形元的插值误差的弱估计和超逼近估计71

3.1 空间H（e）和投影型插值71

3.1.1 空间H（e）及其函数的展开71

3.1.2 指标集和投影型插值75

3.1.3 有限元空间Vv k（Ω）及投影型插值78

3.1.4 空间H（Ω）79

3.2 ω矩形元及投影型插值误差估计80

3.2.1 ω矩形元的定义80

3.2.2 误差阶的新定义81

3.2.3 插值误差的基本估计84

3.2.4 插值导数误差的估计84

3.2.5 有限元空间中的一个估计85

3.3 有限元解的一个平均超逼近估计86

3.4 Qv k型投影型插值误差的基本弱估计89

3.4.1 指标集和Qv k型投影型插值的某些性质89

3.4.2 常系数问题的基本弱估计90

3.5 强基本估计94

3.5.1 单元片和单元片上的一个引理94

3.5.2 强基本估计的证明96

3.6 变系数问题的基本弱估计98

3.7 最大模超逼近、强超逼近和天然超收敛性101

3.7.1 最大模超逼近101

3.7.2 天然的超收敛性102

第四章 双线性元的超收敛性和外推104

4.1 引言：一个新估计方法104

4.2 双线性插值误差的几个积分估计105

4.2.1 ∫Ω？1（u-uI）？1vdxdy105

4.2.2 ∫Ω？1（u-uI）？2vdxdy106

4.2.3 ∫Ω（u-uI）vdxdy和∫Ω？1（u-uI）vdxdy107

4.3 变系数问题及其他108

4.3.1 变系数问题108

4.3.2 一般二阶椭圆问题和双线性元的第一基本估计110

4.3.3 一般光滑区域和几乎一致剖分110

4.3.4 超逼近和超收敛性111

4.4 基本展开式和有限元外推111

4.4.1 林氏积分恒等式111

4.4.2 在u∈H（Ω）条件下的展开式115

4.4.3 在u∈H（Ω）条件下的外推结果116

4.4.4 一点注释118

4.5 一般四边形元的新估计方法118

4.5.1 凸四边形单元分析118

4.5.2 一般网格上的超收敛问题120

4.6 补充：奇妙族矩形元上的展开问题121

4.6.1 几个基本展开式122

4.6.2 一般变系数问题的基本展开123

4.6.3 超逼近和超收敛性124

第五章 高次三角形元中的几个问题126

5.1 三角形元上的函数展开127

5.1.1 点态插值和边界函数空间H1+ε（？e）127

5.1.2 边上的投影型插值及其延拓130

5.1.3 权函数空间Lφ（e）和函数的基本展开135

5.2 三角元上的Pv k型投影型插值及其基本估计139

5.2.1 投影型插值及其性质139

5.2.2 投影型插值的误差估计141

5.3 Pv k和Pk型插值误差的基本弱估计144

5.3.1 误差阶的定义144

5.3.2 一个单元上的弱估计145

5.3.3 单元片上的弱估计146

5.3.4 Pk型三角元的超逼近问题149

5.4 Pv k（v≥1）型插值误差的超收敛弱估计问题讨论149

5.4.1 余项的估计149

5.4.2 单元分析150

5.4.3 离散Green函数的一个特殊性质151

5.4.4 主项的估计—单元合并技术151

第三篇 有限元超收敛后处理理论第六章 离散Green函数和局部对称处理技巧155

6.1 Green函数——局部对称的处理法155

6.1.1 准Green函数Galerkin逼近的几个估计155

6.1.2 局部对称点156

6.1.3 局部处理技巧157

6.1.4 u关于z对称的情形158

6.1.5 对称处理技巧158

6.2 离散Green函数的逐点估计160

6.2.1 离散δ函数及估计160

6.2.2 权范数及估计161

6.2.3 高阶离散Green函数及估计162

6.2.4 Green函数Galerkin逼近的逐点估计166

6.2.5 角域上Green函数Galerkin逼近的某些估计169

6.3 二次三角形元的强超逼近170

6.3.1 主要定理及证明171

6.4 高次Pk型三角形元和QO k型矩形元的超逼近问题172

6.4.1 带权rl的范数172

6.4.2 一个引理173

6.4.3 Pk型元问题174

6.4.4 奇妙族矩形元即QO K型元问题176

6.5 Pv k（v≥1）型三角元和Qv k（v≥1）型矩形元的超逼近178

6.5.1 整体超逼近估计178

6.5.2 超逼近性的直接证明179

6.5.3 对Qv k型矩形元超逼近的进一步讨论180

6.5.4 Pv k型元讨论182

6.5.5 在角上的超逼近估计183

6.6 国外的局部对称处理理论简介184

6.6.1 一个精细的内估计结果184

6.6.2 两个超收敛结果185

6.6.3 一个利用Green函数的证明方法186

第七章 超收敛后处理基本理论188

7.1 超逼近和天然的超收敛性188

7.1.1 超逼近性质188

7.1.2 天然超收敛性191

7.1.3 超逼近点集和超收敛点集示意图193

7.2 单元片导数恢复算子和基本定理195

7.2.1 单元片导数恢复算子的定义195

7.2.2 Z-Z算子196

7.2.3 林氏插值处理算子198

7.2.4 磨光处理算子198

7.2.5 单元片导数恢复算子超收敛基本定理199

7.3 插值的恢复导数及恢复导数佳点200

7.3.1 Z-Z算子处理的佳点201

7.3.2 林氏插值处理的佳点203

7.4 Z-Z算法的超收敛性分析203

7.4.1 Z-Z处理的超收敛性203

7.4.2 二次三角元的强超收敛后处理结果205

7.4.3 高次三角元和奇妙族矩形元的天然超收敛性206

7.5 Z-Z算法的强超收敛性处理206

附录 样本点的选取209

7.6 Z-Z算法的强超收敛性处理的进一步探讨210

7.6.1 一个引理210

7.6.2 主要定理211

7.6.3 样本集选择表212

7.7 林氏插值处理法简介213

7.7.1 第一型插值处理213

7.7.2 第二型插值处理213

第八章 调和方程边值问题的一类高效算法221

8.1 调和方程边值问题的Monte-Carlo概率算法221

8.1.1 概率转移矩阵221

8.1.2 齐次椭圆边值问题和极限转移阵Q∞223

8.1.3 求解非齐次椭圆边值问题的方法227

8.1.4 计算Q∞和S∞的Monte-Carlo法228

8.2 调和方程边值问题的概率算法230

8.2.1 调和方程边值问题和概率转移矩阵230

8.2.2 圆上的转移矩阵234

8.2.3 一般区域的概率转移矩阵235

8.2.4 误差的超收敛估计236

8.2.5 数例分析237

8.3 二维配置算法的超收敛性239

8.3.1 解边值问题的延拓思想239

8.3.2 边值问题的配置算法及其逐点强超收敛性240

8.3.3 数值实例242

第四篇 多维超收敛理论和后验误差估计方法第九章 多维离散Green函数理论247

9.1 Galerkin投影和离散Green函数249

9.1.1 Galerkin投影249

9.1.2 离散Green函数251

9.2 离散δ函数和L2投影252

9.2.1 离散δ函数252

9.2.2 L2投影254

9.3 准Green函数及其L2估计256

9.4 权范数及其性质259

9.5 准Green函数的权范数估计及其他估计263

9.6 准Green函数的Galerkin逼近及有限元的L∞估计266

9.7 导数准Green函数？zG＊ z及其Galerkin逼近270

9.7.1 导数准Green函数？zG＊ z的性质及权范数估计270

9.7.2 ？zG＊ z的Galerkin逼近及其估计273

附录 d=3时？zG＊ z的W1,1半范估计276

第十章 三维问题的超逼近和超收敛性280

10.1 三元函数在长方体单元的展开和三维投影型插值算子280

10.2 三维投影型插值算子的等价构作方法283

10.3 三维ω元和基本空间284

10.4 张量积长方体有限元的超逼近285

10.4.1 三m次长方体有限元的弱估计285

10.4.2 三m次长方体有限元的最大模超逼近298

10.5 奇妙族长方体有限元的超逼近299

10.5.1 二次奇妙族长方体有限元的最大模超逼近299

10.5.2 三次奇妙族长方体有限元的最大模超逼近305

10.6 弱估计的另一种证明方法312

第十一章 ω有限元算法314

11.1 Legendre和Lobatto多项式表314

11.1.1 Legendre多项式表314

11.1.2 ω函数表316

11.2 ω有限元算法318

11.2.1 一维单元分析318

11.2.2 二维矩形ω元分析320

11.2.3 二维三角形ω元分析322

11.2.4 三维长方体ω元分析323

11.3 Lagrange算法和ω算法比较323

11.3.1 Lagrange基函数323

11.3.2 一维ω算法实例分析324

11.4 二维ω有限元计算实例分析338

11.5 三维ω有限元计算实例分析338

11.5.1 （Ⅰ）型问题计算结果分析339

11.5.2 （Ⅱ）型问题计算结果分析340

11.5.3 （Ⅲ）型奇性问题计算结果分析340

11.5.4 三维奇性解的超收敛分析344

11.6 一般区域的处理348

第十二章 后验误差估计和超收敛349

12.1 引言349

12.2 基于残值的后验误差估计简介350

12.2.1 基本概念350

12.2.2 一个简单的后验误差估计352

12.2.3 泡泡函数354

12.2.4 残数的一个估计357

12.2.5 误差的两边估计359

12.3 基于超收敛后处理的后验误差估计：一维问题360

12.3.1 模型问题360

12.3.2 Z-Z提出的一个估计方法361

12.3.3 两类后验误差估计因子363

12.3.4 第三类后验误差估计因子366

12.3.5 几类后验误差估计因子的有效指标分析367

12.4 基于超收敛后处理的后验误差估计：二维一次元问题368

12.4.1 基本思想368

12.4.2 一次元后验误差估计因子的直接构作法371

12.5 单元片应力超收敛后处理技巧372

12.5.1 Z-Z SPR处理技巧372

12.5.2 多维一次元的SPR处理和后验误差估计因子374

12.5.3 二次三角元的SPR处理和后验误差估计因子374

12.5.4 一般元的SPR处理和后验误差估计因子375

12.6 自适应过程探讨376

12.6.1 Z-Z的h-p自适应过程376

12.6.2 一种新的构思——h-l-p自适应过程377

12.6.3 单元边上的后验误差估计378

12.6.4 p细分过程的实现379

参考文献381

检索401