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第1章 函数1

1.1 实数集1

1.1.1 集合1

1.1.2 逻辑符号2

1.1.3 有理数集和实数集2

1.1.4 区间和邻域3

1.1.5 不等式4

1.1.6 数集的界5

1.2 函数7

1.2.1 函数的概念7

1.2.2 函数的运算11

1.2.3 函数的简单性质15

1.2.4 初等函数17

1.2.5 双曲函数22

1.2.6 隐函数、由参数方程或极坐标方程表示的函数23

1.2.7 函数图形的变换29

习题131

第2章 极限与连续36

2.1 数列的极限36

2.1.1 数列36

2.1.2 数列极限的定义38

2.1.3 无穷小和无穷大43

2.2 数列极限的性质和运算法则45

2.2.1 数列极限的性质45

2.2.2 数列极限的运算法则49

2.3 数列极限存在的判别法53

2.3.1 夹逼定理53

2.3.2 单调有界数列极限存在定理56

2.4 函数的极限61

2.4.1 函数极限的定义61

2.4.2 函数极限的性质、运算法则和判别法69

2.4.3 两个重要的函数极限75

2.4.4 无穷小的比较77

2.5 函数的连续性81

2.5.1 函数连续的定义81

2.5.2 函数间断点的分类83

2.5.3 连续函数的运算86

2.5.4 初等函数的连续性87

2.6 闭区间上连续函数的性质88

习题292

第3章 导数与微分100

3.1 导数的概念100

3.1.1 典型例子100

3.1.2 导数的定义102

3.1.3 可导与连续的关系108

3.2 微分110

3.2.1 微分的概念110

3.2.2 微分与导数的关系111

3.2.3 微分的几何意义112

3.2.4 微分应用于近似计算及误差估计113

3.3 导数与微分的运算法则116

3.3.1 导数的四则运算法则116

3.3.2 复合函数的导数119

3.3.3 反函数的导数123

3.3.4 基本导数和微分公式表125

3.4 隐函数与参数方程求导法127

3.4.1 隐函数的导数127

3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数129

3.5 导数概念在实际问题中的应用131

3.5.1 一些学科中的变化率问题举例132

3.5.2 相关变化率134

3.6 高阶导数136

3.6.1 高阶导数的概念136

3.6.2 高阶导数运算法则和莱布尼茨公式139

3.6.3 隐函数的高阶导数和参数方程表示的函数的高阶导数141

习题3142

第4章 微分中值定理与导数的应用152

4.1 微分中值定理152

4.1.1 费马定理152

4.1.2 罗尔定理154

4.1.3 拉格朗日定理158

4.1.4 柯西定理162

4.1.5 导函数的两个性质163

4.2 洛必达法则166

4.3 泰勒公式及其应用172

4.3.1 泰勒定理172

4.3.2 一些简单函数的麦克劳林公式176

4.3.3 泰勒公式的应用179

4.4 利用导数研究函数性态181

4.4.1 函数的单调性181

4.4.2 函数的极值和最值185

4.4.3 函数的凸性与拐点189

4.4.4 函数图形的描绘193

4.5 平面曲线的曲率198

4.5.1 曲线弧长概念及其微分199

4.5.2 曲率和曲率公式200

4.6 方程的近似解203

4.6.1 二分法204

4.6.2 牛顿切线法205

习题4208

第5章 积分217

5.1 定积分的概念217

5.1.1 典型实例217

5.1.2 定积分的定义220

5.1.3 函数可积的充分条件222

5.2 定积分的性质224

5.2.1 定积分的运算性质225

5.2.2 积分中值定理229

5.3 微积分基本定理232

5.3.1 原函数与变上限积分232

5.3.2 牛顿-莱布尼茨公式236

5.4 不定积分239

5.4.1 不定积分的概念和性质239

5.4.2 基本积分表241

5.4.3 第一换元法242

5.4.4 第二换元法244

5.4.5 分部积分法247

5.4.6 几类常见函数的不定积分251

5.5 定积分的计算257

5.5.1 定积分的换元法258

5.5.2 定积分的分部积分法263

5.5.3 定积分的综合例题266

5.5.4 定积分的近似计算271

5.6 定积分的应用274

5.6.1 微元法275

5.6.2 定积分的几何应用276

5.6.3 定积分的物理应用286

5.7 反常积分290

5.7.1 无穷区间上的反常积分290

5.7.2 无界函数的反常积分293

习题5298

第6章 微分方程310

6.1 微分方程的基本概念310

6.2 一阶微分方程312

6.2.1 可分离变量方程313

6.2.2 齐次微分方程和其他可化为可分离变量形式的方程316

6.2.3 一阶线性微分方程320

6.3 某些可降阶的高阶微分方程323

6.4 线性微分方程解的结构326

6.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构327

6.4.2 二阶线性非齐次方程解的结构329

6.5 常系数线性微分方程332

6.5.1 常系数线性齐次方程332

6.5.2 常系数线性非齐次方程335

6.5.3 欧拉方程342

6.6 微分方程的数值解344

6.7 微分方程的应用举例347

习题6357

部分习题参考答案363