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第一章 凸集的基本性质1

§1.1基本概念1

1.1.1 凸集与凸曲线1

1.1.2 支持线及其存在性1

§1.2 凸集的支持函数和宽度函数3

1.2.1 直线的广义法式3

1.2.2 凸集的支持函数与宽度函数3

1.2.3 凸曲线作为直线族的包络4

1.2.4 周长公式的初等证明6

1.3.1 常宽凸集8

§1.3 某些特殊凸集8

1.3.2 平行凸集9

§1.4 Minkowski混合面积9

1.4.1 混合凸集的定义9

1.4.2 Minkowski混合面积10

§1.5 单位球面面积和单位球体体积公式11

第二章 平面上几何元素集的测度13

§2.1 点集的测度13

2.1.1 点集的测度13

2.1.2 几点注记14

2.1.3 一个积分公式15

2.2.1 直线集的测度17

§2.2 直线集的测度17

2.2.2 两个推论19

2.2.3 直线密度的另外一些形式19

2.2.4 等周不等式的证明21

§2.3 点偶与线偶22

2.3.1 点偶的密度22

2.3.2 凸集的弦幂积分23

2.3.3 研究弦幂积分的意义24

2.3.4 弦幂积分不等式25

2.3.5 线偶的密度25

2.3.6 Crofton公式26

2.4.1 凸域的随机分割27

§2.4 平面的随机分割27

2.4.2 平面的随机分割30

2.4.3 关于随机分割的注记32

§2.5 平面上的带域集32

2.5.1 带域的密度32

2.5.2 Buffon投针问题的推广33

2.5.3 进一步推广34

第三章 平面积分几何的基本定理40

§3.1 平面运动群40

3.1.1 平面运动群40

3.1.2 左推移和右推移42

3.1.3 ？上的微分形式43

§3.2 运动密度44

3.2.1 左不变1形式与右不变1形式44

3.2.2 运动密度46

3.2.3 运动测度的几何意义47

3．2．4 运动密度的其他形式49

§3.3 Poincaré公式50

3.3.1 运动密度的又一表示形式50

3.3.2 Poincaré公式52

§3.4 Balaschke运动基本公式53

3.4.1 闭曲线及平面区域的全曲率53

3.4.2 Blaschke运动基本公式55

3.4.3 Blaschke公式的直接推论57

第四章 平面积分几何的应用59

§4.1 等周不等式59

4.1.1 等周不等式的证明59

4.1.2 加强的等周不等式61

4.1.3 等周亏格的上界估计63

§4.2 一个区域能够包含另一个区域的条件65

4.2.1 一个区域能够包含另一个区域的充分条件66

4.2.2 与Hadwiger条件的比较67

4.2.3 若干推论69

4.3.2 凸域内定长线段的运动测度公式70

4.3.1 问题的提出70

§4.3 凸域内定长线段的运动测度70

4.3.3 广义支持函数和限弦函数72

4.3.4 用广义支持函数表达m(l)的公式73

4.3.5 矩形域的m(l)78

§4.4 运动测度m(l)在几何概率问题中的应用79

4.4.1 Buffon问题的Laplace推广79

4.4.2 利用m(l)讨论推广的Buffon问题80

4.4.3 某些凸多边形域的m(l)及其应用83

§4.5 与л的统计估计有关的一个问题93

4.5.1 平行线网93

4.5.2 矩形网格 独立性条件94

4.5.3 有效性分析95

4.5.4 平行四边形网格97

第五章 齐性空间积分几何的理论基础100

§5.1 微分流形100

5.1.1 拓扑空间100

5.1.2 拓扑流形与微分流形102

5.1.3 可微函数与可微映射103

§5.2 流形上的向量场104

5.2.1 切空间与切向量场104

5.2.2 流形间映射的微分105

5.2.3 向量场的局部坐标表示105

5.3.1 对偶向量场106

§5.3 微分形式与外微分106

5.3.2 张量场107

5.3.3 流形上的外代数108

5.3.4 外微分112

5.3.5 用通常的微分表示外微分113

§5.4 积分流形与Pfaff方程115

5.4.1 积分流形115

5.4.2 Pfaff方程组116

§5.5 李群及其运动密度120

5.5.1 李群120

5.5.2 左推移和右推移121

5.5.3 左不变微分形式123

5.5.4 李群的结构方程与结构常数的性质125

5.5.5 李群的运动密度132

§5.6 齐性空间的密度和测度137

5.6.1 李群作用于流形 齐性空间137

5.6.2 G/H上不变密度存在的条件138

5.6.3 Weil条件140

5.6.4 H为正规子群的情形142

5.6.5 陈省身条件143

5.6.6 稳定子群144

§5.7 应用举例——重新认识平面积分几何145

6.1.1 运动群及其结构方程149

第六章 En中的积分几何149

§6.1 En中的运动群149

6.1.2 运动群及其子群的不变体积元151

§6.2 En中线性空间的密度154

6.2.1 r维平面的运动密度154

6.2.2 包含固定q维平面的r维平面的运动密度155

6.2.3 Grassmann流形的体积156

6.2.4 En中r维平面的密度之另一形式157

6.2.5 线性空间偶（Ln-1,L*n-1）的运动密度158

6.2.7 点组的密度公式160

6.2.6 线性空间偶（Lr，L(r)?+1的运动密度160

§6.3 凸集与均质积分162

6.3.1 凸集的均质积分162

6.3.2 Cauchy公式166

6.3.3 平行凸集Steiner公式167

6.3.4 W 2(K v-r)的平均值169

§6.4 平均曲率积分170

6.4.1 En中超曲面的平均曲率积分170

6.4.2 平均曲率积分与均质积分之间的联系172

6.4.3 一些具体结果173

6.4.4 平坦凸体的平均曲率积分177

6.5.1 与一凸集相交的r维平面集的测度178

§6.5 与一凸集相交的r维平面集178

6.5.2 W（r）？+1(LrnK)在集{Lr：LrnK≠φ}上的积分179

6.5.3 Crofton公式180

§6.6 陈省身公式181

6.6.1 一个密度关系式181

6.6.2 △r+q-n的积分183

6.6.3 陈省身公式184

§6.7 Santaló公式186

6.7.1 一个密度关系式186

6.7.2 Santaló公式188

6.8.1 一个密度公式190

§6.8 二流形交集的体积的积分190

6.8.2 又一个密度公式192

6.8.3 体积Or+q-n（Mrn Mq）的积分192

§6.9 陈省身-严志达公式194

6.9.1 一个重要的密度关系式194

6.9.2 陈省身-严志达运动基本公式196

6.9.3 关于凸集的运动基本公式204

6.9.4 平均曲率积分的积分205

第七章 积分几何的应用208

§7.1 三维欧氏空间积分几何概述208

7.1.1 E3中的运动群208

7.1.2 E3中直线和平面的密度210

7.1.3 一些基本公式212

7.1.4 动图形是凸柱体的情形214

§7.2 立体学大意216

7.2.1 立体学的研究对象216

7.2.2 一般性的讨论217

7.2.3 切片法——用平面截割219

7.2.4 球形颗粒222

7.2.5 近球颗粒223

7.2.6 穿刺法——用直线探测224

§7.3 一个凸体包含另一个凸体的充分条件226

7.3.1 一个密度公式226

7.2.7 晶粒估计问题226

7.3.2 一个凸体包含另一个凸体的充分条件227

§7.4 凸体内定长线段的运动测度230

7.4.1 En中凸体内定长线段运动测度的一般公式231

7.4.2 公式的变形233

7.4.3 柱体情形236

7.4.4 E3中长方体的m(l)与Buffon问题238

7.4.5 En中长方体的m(l)与Buffon问题243

§7.5 关于弦幂积分不等式244

7.5.1 E3中弦幂积分不等式245

7.5.2 几何概率上的应用248

7.5.3 En中弦幂积分不等式250