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第一章 引言1

1.1论说2

1.1.1论说的好坏3

1.1.2论说形式的好坏3

1.1.3论说的好坏取决于其形式的好坏5

1.2演绎7

1.2.1演绎的例子（一）8

1.2.2演绎的例子（二）9

1.2.3可演绎性、可证性和独立性10

1.2.4可演绎性与论说10

1.3一致性11

1.3.1关于一致性的基本想法11

1.3.2不一致命题集的例子12

1.3.3一致性、逻辑蕴涵和可演绎性的关系13

1.4与逻辑或“逻辑”有关的几个问题14

1.4.1“逻辑是什么”不是逻辑问题15

1.4.2逻辑与“逻辑”的用法16

1.4.3逻辑与“习惯的说理方式”16

1.4.4当代逻辑、传统逻辑和“普通人需要的逻辑”17

第一编 命题逻辑23

第二章 命题联结词与真值表方法23

2.1联结词与复合句24

2.1.1联结词24

2.1.2复合句和简单句26

2.1.3复合句的子句27

2.1.4主联结词和直接子句29

2.2真值函数联结词和非真值函数联结词31

2.2.1真值函数联结词31

2.2.2非真值函数联结词31

2.2.3常用的真值函数联结词符号33

2.3符号化34

2.3.1哪些联结词对应于哪些联结词符号？34

2.3.2符号化的基本操作过程34

2.3.3几种特殊情况36

2.3.4论说的符号化37

2.3.5形式37

2.4命题逻辑的基本语法38

2.4.1形式语言？038

2.4.2对象语言和元语言39

2.4.3子公式和主联结词40

2.4.4括号的省略41

2.4.5语法和语义42

2.5真值表和真值的计算43

2.5.1联结词的语义解释——基本真值表43

2.5.2公式真值的计算44

2.6若干基本语义概念的真值表刻画48

2.6.1重言蕴涵（重言后承）与重言等值49

2.6.2可满足性53

2.6.3重言式、矛盾式与或然式54

2.7简化真值表方法57

2.8习题60

第三章 命题逻辑的基本概念71

3.1对象语言里的符号和公式71

3.2真值指派和公式的真值72

3.3重言蕴涵、重言等值与可满足性73

3.4重言式、矛盾式与或然式78

3.5代入81

3.5.1关于代入的直观说明82

3.5.2代入的定义82

3.5.3代入的复合86

3.6代入的语义性质88

3.7真值指派与真值表91

3.7.1真值函数92

3.7.2对部分命题变号的赋值93

3.7.3基本语义概念的严格定义和真值表刻画的等价性94

3.8范式97

3.8.1合取范式97

3.8.2析取范式98

3.8.3范式定理99

3.9函数完全性102

3.9.1真值函数在形式语言中的表达102

3.9.2具有函数完全性的几组真值联结词104

3.10习题106

第二编 命题演算113

关于形式系统的简单说明113

第四章 费奇式推演Ⅰ115

4.1推演规则116

4.1.1结构规则116

4.1.2联结词规则117

4.2简单的费奇式推演120

4.2.1合取规则应用121

4.2.2蕴涵规则应用122

4.2.3否定规则应用123

4.2.4析取规则应用125

4.2.5等值规则应用127

4.3有前提推演和无前提推演128

4.3.1无前提推演129

4.3.2有前提推演132

4.4费奇式推演的简单技巧134

4.4.1“小证明”（Mini-proof）134

4.4.2“从结论想起”136

4.4.3对析取式的特殊处理140

4.4.4“结构十小证明”143

4.4.5“大结构”147

4.5非Intelim规则及其运用152

4.5.1推演规则152

4.5.2替换规则154

4.5.3非Intelim规则的运用156

4.6习题159

第五章 弗雷格-希尔伯特式演算Ⅰ163

5.1公理系统H0165

5.1.1H0的公理165

5.1.2H0的推演规则165

5.2H0中的证明与定理166

5.3H0中的演绎171

5.4内定理和元定理173

5.5关于可演绎关系的若干简单命题178

5.5.1合取和析取的基本性质178

5.5.2合取和析取——交换律和结合律180

5.5.3合取和析取——分配律181

5.5.4否定和蕴涵182

5.5.5否定和析取185

5.5.6合取、析取和否定——德摩根律186

5.5.7其他187

5.6置换定理190

5.7sub、证明和无前提演绎194

5.7.1H0中的证明和无前提演绎194

5.7.2一般系统中的证明和无前提演绎197

5.8习题199

第六章 弗雷格-希尔伯特式演算Ⅱ202

6.1形式语言？1和公理系统H1202

6.1.1？1-符号和？1-公式202

6.1.2作为缩写引入的符号203

6.1.3公理系统H1203

6.2H1中的演绎与证明204

6.3等价的公理系统208

6.3.1公理系统H2208

6.3.2公理系统H3210

6.3.3公理系统H4211

6.3.4H1，H2，H3和H4之间的等价性213

6.3.5公理系统H1与H0（及H0*）214

6.3.6mp、DT、IE和SRAA215

6.4真实性和重言性的保存，可靠性定理218

6.5一致性220

6.6范式224

6.7独立性问题227

6.7.1不可演绎性和不可证明性228

6.7.2公理的独立性、有穷数值解释和一般解释结构229

6.7.3独立公理集的一例232

6.8习题236

第三编 谓词逻辑247

第七章 走近谓词逻辑——符号化247

7.1专名、常项与变项248

7.1.1专名、常项及其指称248

7.1.2变项249

7.1.3论域250

7.1.4“变项”之“变”250

7.2函数符号和项251

7.2.1函数和函数符号251

7.2.2项252

7.3谓词252

7.4量词253

7.4.1联结符号和公式254

7.4.2量词的辖域255

7.4.3个体变项的自由出现和约束出现256

7.4.4闭公式256

7.5直言句及其符号化257

7.5.1无量词的句子257

7.5.2直言句258

7.5.3汉语中的量词259

7.5.4直言句的符号化260

7.6嵌入的量词263

7.7函数符号和等词的运用266

7.7.1简单数量词267

7.7.2一般数量词271

7.8“只有”和“只”272

7.8.1“只有S（才）是P”274

7.8.2嵌入的“只有”和“只”275

7.9时间的介入278

7.10“Donkey Business”280

7.11习题282

第八章 谓词逻辑的基本语法和语义Ⅰ286

8.1一阶语言286

8.1.1？*-符号、？*-项和？*-公式286

8.1.2与量词有关的几个语法概念288

8.1.3一阶语言与高阶语言289

8.2“词典语义学”290

8.3简单的集合论知识294

8.3.1有序对和有序组294

8.3.2卡氏积和卡氏幂295

8.3.3性质，关系与函数295

8.4模型和赋值297

8.4.1模型297

8.4.2赋值298

8.5基本语义定义（BSD）300

8.6项的值和公式的真值301

8.7可满足性、逻辑蕴涵、逻辑等值和有效式308

8.7.1可满足性309

8.7.2逻辑蕴涵（逻辑后承）310

8.7.3逻辑等值311

8.7.4逻辑有效式312

8.7.5基本语义概念的简单运用314

8.7.6重言蕴涵与逻辑蕴涵315

8.8习题318

第九章 谓词逻辑的基本语法和语义Ⅱ323

9.1对个体变项的代入323

9.1.1代入的直观说明323

9.1.2代入的严格定义325

9.1.3代入的若干简单性质328

9.2自由代入及其基本语义性质331

9.2.1自由代入331

9.2.2自由代入的基本语义性质334

9.3等项替换和易字337

9.3.1等项替换337

9.3.2易字338

9.4置换339

9.5易字变形341

9.5.1简单易字变形和易字变形341

9.5.2相对于自由代入的规范易字变形343

9.5.3个体变项的整体替换345

9.6理论的不同模型349

9.6.1理论对模型共同点的概括349

9.6.2同构模型351

9.6.3一阶语言的表达力353

9.7习题356

第四编 谓词演算363

第十章 费奇式推演Ⅱ363

10.1全称量词消去规则和存在量词引入规则363

10.1.1全称量词消去规则363

10.1.2存在量词引入规则365

10.2全称量词引入规则和存在量词消去规则368

10.2.1对被标示的项的直观说明368

10.2.2被标示的个体变项和个体常项370

10.2.3存在量词消去规则371

10.2.4全称量词引入规则374

10.3否定词与量词的衔接379

10.4推演中常见的其他几种情况382

10.5等词引入规则和等词消去规则388

10.6非Intelim规则及其运用392

10.6.1推演规则392

10.6.2替换规则394

10.6.3省略“重复”的推演395

10.7习题396

第十一章 弗雷格-希尔伯特式演算Ⅲ400

11.1形式语言和公理系统400

11.1.1形式语言400

11.1.2公理系统H400

11.1.3H中的演绎和证明401

11.1.4与量词无关的演绎403

11.2一阶演绎和证明的若干简单性质405

11.2.1概括原则及其推论405

11.2.2概括原则及其推论的应用406

11.3易字与常项概括410

11.3.1易字式和易字变形410

11.3.2个体变项的整体替换412

11.3.3常项概括原则及其推论413

11.4若干可证等值式417

11.4.1同类量词串的排列417

11.4.2DMQ等值式和CDMQ等值式418

11.4.3空约束公式419

11.4.4量词对二元联结词的分配和提取420

11.4.5量词的移置律和转换律421

11.5带等词的一阶演绎和证明424

11.5.1带等词一阶演绎的若干简单性质424

11.5.2等项替换427

11.5.3数学中的几个简单例子429

11.6习题435

第十二章 弗雷格·希尔伯特式演算Ⅳ439

12.1置换定理的一般形式439

12.1.1置换定理439

12.1.2置换定理应用举例441

12.2可靠性与一致性445

12.3前束范式449

12.3.1前束范式存在定理449

12.3.2求公式的前束范式450

12.4等价的一阶演算公理系统454

12.4.1联结词公理的变更454

12.4.2量词公理和推演规则的变更455

12.4.3等词公理的变更459

12.4.4初始符号的变更461

12.5完全性定理和紧致性定理的简单形式461

12.5.1极大一致集462

12.5.2见证和Henkin集464

12.5.3完全性定理和紧致性定理466

12.5.4紧致性定理的简单应用470

12.5.5一点说明472

12.6习题473

附录 演算 数学归纳法 习题答案479

附录A其他形式的逻辑演算479

A.1表列系统479

A.1.1命题逻辑的表列规则480

A.1.2谓词逻辑的表列规则486

A.1.3习题490

A.2模态逻辑的弗雷格-希尔伯特式演算492

A.2.1形式语言和系统的推演规则492

A.2.2模态系统的常见分类494

A.2.3正规模态系统497

A.2.4习题501

附录B数学归纳法和趣味逻辑题503

B.1几个趣味逻辑题503

B.1.1死刑前的陈述503

B.1.2“The Lady Or The Tiger？”504

B.1.3帽子游戏504

B.1.4十二个球505

B.2数学归纳法505

B.2.1弱归纳原理506

B.2.2强归纳原理508

B.2.3自然数良序原理511

B.2.4递归定义512

B.3数学归纳法在逻辑中的应用514

B.3.1公式序列的长度514

B.3.2项和公式的复杂度516

B.4数学归纳法在趣味逻辑题中的应用519

B.4.1更多帽子的游戏519

B.4.2帽子游戏的一些变种520

B.4.3更多的球521

附录C部分习题参考答案或提示523

C.1第三章习题523

C.2第四章习题524

C.3第五章习题525

C.4第六章习题527

C.5第八章习题533

C.6第九章习题534

C.7第十章习题542

C.8第十一章习题546

C.9第十二章习题546

C.10附录A习题547

C.11附录B习题549

结语555

参考文献和推荐书目557

希腊字母读音表563

索引564

符号索引564

名词索引569