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第7章 常微分方程1

7.1 常微分方程的基本概念1

习题7.14

7.2 一阶微分方程6

7.2.1 可分离变量的微分方程6

7.2.2 齐次微分方程10

7.2.3 一阶线性微分方程13

7.2.4 伯努利方程15

习题7.216

7.3 可降阶的高阶微分方程18

7.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程18

7.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程19

7.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程20

习题7.323

7.4 高阶线性微分方程24

7.4.1 函数的线性相关与线性无关24

7.4.2 线性微分方程解的结构25

7.4.3 线性微分方程解的存在唯一性27

习题7.428

7.5 常系数齐次线性微分方程29

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程29

7.5.2 n阶常系数齐次线性微分方程33

习题7.534

7.6 常系数非齐次线性微分方程35

7.6.1 二阶常系数非齐次线性微分方程35

7.6.2 欧拉方程43

习题7.644

综合习题744

第8章 无穷级数46

8.1 常数项级数的概念和性质46

8.1.1 常数项级数的概念46

8.1.2 收敛级数的基本性质49

习题8.151

8.2 常数项级数的审敛法52

8.2.1 级数收敛的必要条件52

8.2.2 正项级数及其审敛法53

8.2.3 交错级数59

8.2.4 绝对收敛与条件收敛61

习题8.264

8.3 幂级数66

8.3.1 函数项级数的概念66

8.3.2 幂级数及其收敛性67

8.3.3 幂级数的性质及幂级数的和函数72

习题8.376

8.4 泰勒级数77

8.4.1 泰勒级数的概念77

8.4.2 函数展开为幂级数78

8.4.3 幂级数的应用84

习题8.486

8.5 傅里叶级数88

8.5.1 三角函数系88

8.5.2 周期为2π的函数的傅里叶级数90

8.5.3 函数在［-π，π］上的傅里叶级数93

8.5.4 函数在［0，π］上的正弦级数或余弦级数95

8.5.5 周期为2l的函数的傅里叶级数98

8.5.6 傅里叶级数的复数形式99

习题8.5101

综合习题8101

第9章 空间解析几何与向量代数104

9.1 空间向量及其运算104

习题9.1109

9.2 空间平面和直线方程110

9.2.1 空间平面方程110

9.2.2 空间直线方程114

习题9.2116

9.3 空间曲面和曲线117

习题9.3124

第10章 多元函数微分学及其应用125

10.1 多元函数的极限与连续125

10.1.1 n维空间125

10.1.2 多元函数的极限127

10.1.3 多元函数的连续性129

习题10.1129

10.2 偏导数131

10.2.1 偏导数的概念及其计算131

10.2.2 偏导数的几何意义133

10.2.3 高阶偏导数135

习题10.2137

10.3 全微分及其应用139

习题10.3143

10.4 多元复合函数的求导法则144

习题10.4148

10.5 隐函数及其求导法151

习题10.5156

10.6 多元微分在几何上的应用158

10.6.1 空间曲线的切线与法平面158

10.6.2 空间曲面的切平面与法线159

习题10.6162

10.7 多元函数的极值164

10.7.1 无条件极值164

10.7.2 条件极值 拉格朗日乘数法169

习题10.7173

10.8 方向导数与梯度174

10.8.1 方向导数174

10.8.2 梯度177

习题10.8180

综合习题10181

第11章 重积分183

11.1 二重积分的概念与性质183

11.1.1 二重积分的概念183

11.1.2 二重积分的性质185

习题11.1187

11.2 二重积分的计算188

11.2.1 直角坐标系下二重积分的计算188

11.2.2 极坐标系下二重积分的计算193

11.2.3 对称性与二重积分196

11.2.4 二重积分的变量替换199

习题11.2203

11.3 三重积分206

11.3.1 三重积分的概念206

11.3.2 空间直角坐标系下三重积分的计算207

11.3.3 利用球坐标系计算三重积分212

习题11.3214

11.4 重积分的应用217

11.4.1 几何应用217

11.4.2 物理应用220

习题11.4227

综合习题11228

第12章 曲线积分与曲面积分230

12.1 第一型曲线积分230

12.1.1 第一型曲线积分的概念和性质230

12.1.2 第一型曲线积分的计算232

习题12.1236

12.2 第二型曲线积分238

12.2.1 第二型曲线积分的概念与性质238

12.2.2 第二型曲线积分的计算239

习题12.2243

12.3 格林公式及其应用245

12.3.1 格林公式245

12.3.2 平面上的曲线积分与路径无关的条件251

12.3.3 全微分方程254

习题12.3257

12.4 第一型曲面积分259

12.4.1 第一型曲面积分的概念与性质259

12.4.2 第一型曲面积分的计算260

习题12.4264

12.5 第二型曲面积分265

12.5.1 双侧曲面及其法向量265

12.5.2 第二型曲面积分的概念266

习题12.5273

12.6 高斯公式 通量与散度274

12.6.1 高斯公式274

12.6.2 通量与散度278

习题12.6280

12.7 斯托克斯公式 环流量与旋度281

12.7.1 斯托克斯公式281

12.7.2 环流量与旋度284

习题12.7285

综合习题12286

附录 研究与参考289

A．关于常微分方程的注记289

B．关于多元函数极值的充分条件292

参考文献297