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第1章 数学基础知识1

1.1 线性空间与赋范线性空间1

1.1.1 线性空间1

1.1.2 赋范线性空间3

1.2 内积空间7

1.2.1 内积及内积空间的定义7

1.2.2 内积范数9

1.2.3 内积与正交投影及投影向量10

1.2.4 Gram-Schmidt正交化方法11

1.2.5 正交多项式13

1.2.6 算子的概念18

1.3 常用矩阵变换19

1.3.1 Gauss变换阵与矩阵的三角分解19

1.3.2 Householder变换阵与矩阵的正交分解22

1.3.3 Givens变换阵与正交分解26

1.3.4 奇异值（SVD）分解28

1.3.5 计算实例29

1.4 算法稳定性与有效数字35

1.4.1 算法的稳定性35

1.4.2 误差与有效数字36

习题137

第2章 插值法38

2.1 Lagrange插值法与Newton插值法39

2.1.1 多项式插值的存在唯一性39

2.1.2 Lagrange插值法40

2.1.3 Lagrange插值多项式的误差42

2.1.4 Newton（牛顿）插值法43

2.1.5 Newton插值多项式的误差45

2.1.6 导数值作为插值条件的多项式插值（Hermite插值）46

2.2 分段低次插值49

2.2.1 高次插值的Runge现象49

2.2.2 分段低次插值50

2.2.3 三次样条插值52

2.2.4 实例计算56

2.3 二元函数分片插值法59

2.3.1 问题的提出59

2.3.2 矩形域上的分片插值问题60

习题263

第3章 最小二乘原理及其应用65

3.1 最小二乘原理65

3.2 最小二乘解的计算方法67

3.2.1 内积空间中最小二乘解的计算方法67

3.2.2 计算实例73

习题374

第4章 数值积分法75

4.1 等距节点的牛顿-柯特斯公式76

4.1.1 插值型求积公式76

4.1.2 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式77

4.1.3 插值型求积公式的代数精度78

4.1.4 Newton-Cotes公式的截断误差81

4.1.5 Newton-Cotes公式的数值稳定性分析83

4.2 复化求积法83

4.2.1 复化求积公式83

4.2.2 变步长复化求积公式85

4.3 Gauss型求积公式89

4.3.1 构造Gauss型求积公式的基本原理89

4.3.2 构造Gauss型求积公式的具体方法93

4.3.3 Gauss型求积公式的稳定性分析97

4.3.4 实例应用98

习题499

第5章 线性代数方程组的数值解法101

5.1 解线性代数方程组的直接解法101

5.1.1 Gauss消元法及其矩阵表示102

5.1.2 正交分解法及其矩阵表示105

5.2 解线性代数方程组的误差分析106

5.3 解线性代数方程组的迭代解法109

5.3.1 构造迭代格式的基本思想和收敛性109

5.3.2 三种经典的迭代格式111

5.4 解线性代数方程组的变分方法115

5.4.1 对称正定线性代数方程组解的变分原理116

5.4.2 求解极小值点的一般方法118

5.4.3 最速下降法119

5.4.4 共轭梯度法120

5.4.5 计算实例123

习题5125

第6章 非线性方程的数值解法127

6.1 二分法128

6.1.1 方程根的概念128

6.1.2 二分法129

6.2 迭代法及其收敛性130

6.2.1 迭代格式的构造及收敛条件130

6.2.2 迭代格式的局部收敛性132

6.3 Newton迭代与割线法133

6.3.1 Newton迭代格式133

6.3.2 Newton迭代法的局部收敛性134

6.3.3 弦截法134

6.3.4 计算实例135

6.4 解非线性方程组的迭代法139

6.4.1 不动点迭代法139

6.4.2 Newton-Raphson迭代法140

习题6141

第7章 常微分方程数值解法初步143

7.1 求解初值问题数值方法的基本原理144

7.1.1 初值问题的数值解144

7.1.2 构造初值问题数值方法的基本途径145

7.1.3 梯形公式与预估校正思想146

7.1.4 单步法的误差分析和稳定性147

7.2 高精度的单步法152

7.2.1 基本原理152

7.2.2 二阶Runge-Kutta方法的推导153

7.2.3 经典的四阶R-K方法154

7.3 线性多步法156

7.3.1 基于数值积分的Adams公式157

7.3.2 预估-校正算法159

7.4 一阶微分方程组的解法162

7.5 边值问题的打靶法和差分法164

7.5.1 打靶法（Shooting Method）164

7.5.2 差分法（Difference Method）165

7.6 计算实例167

习题7168

第8章 微分方程变分原理与有限元方法初步171

8.1 Hilbert空间与Sobolev空间171

8.1.1 Hilbert空间171

8.1.2 Sobolev空间172

8.2 数学物理中的变分问题175

8.3 一维变分问题177

8.4 二维变分问题182

8.4.1 第一类边值问题182

8.4.2 其他边值问题185

8.5 变分问题的计算186

8.5.1 Rtiz方法186

8.5.2 Galerkin方法187

8.6 有限元方法初步190

8.6.1 从Ritz法出发190

8.6.2 从Galerkin法出发195

习题8198

第9章 参数估计与假设检验199

9.1 参数估计方法200

9.1.1 点估计200

9.1.2 区间估计202

9.2 假设检验203

9.2.1 参数假设检验203

9.2.2 分布假设检验206

习题9209

第10章 回归分析与方差分析211

10.1 一元线性回归212

10.1.1 引言212

10.1.2 一元线性回归的参数估计213

10.1.3 模型检验215

10.1.4 预测216

10.1.5 控制217

10.2 多元线性回归218

10.2.1 模型和参数估计218

10.2.2 多元回归模型的检验221

10.2.3 预测222

10.2.4 变量选择及多元共线性问题223

10.2.5 线性回归的推广228

10.3 方差分析229

10.3.1 一元方差分析229

10.3.2 二元方差分析232

习题10238

第11章 线性反演理论初步243

11.1 反演问题的基本概念243

11.1.1 反演问题及其主要内容243

11.1.2 线性反演问题及其一般论述245

11.1.3 一些非线性问题线性化的方法249

11.2 离散型线性反演问题的最小长度解250

11.2.1 长度及其对反演问题求解的影响250

11.2.2 适定和超定问题的求解251

11.2.3 纯欠定问题的求解253

11.2.4 混定问题的求解——马夸特法254

11.2.5 长度的加权度量与反演问题的求解255

11.3 Backus-Gilbert反演理论257

11.3.1 在精确数据情况下连续介质的反演理论258

11.3.2 BG线性评价263

习题11269

参考文献271