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第1章 函数1

1.1 预备知识1

1.1.1 变量与区间1

1.1.2 绝对值与邻域2

1.2 函数的概念3

1.2.1 函数的定义3

1.2.2 函数的表示法4

1.3 函数的性质5

1.3.1 有界性5

1.3.2 单调性6

1.3.3 奇偶性6

1.3.4 周期性7

1.4 反函数8

1.5 复合函数9

1.6 初等函数10

1.6.1 基本初等函数10

1.6.2 初等函数的概念13

习题114

阅读材料1函数是什么16

第2章 极限与连续19

2.1 数列的极限19

2.1.1 数列的概念19

2.1.2 数列极限实例20

2.1.3 数列极限的概念20

2.1.4 收敛数列的性质22

2.2 函数的极限23

2.2.1 x→∞时，函数f（x）的极限23

2.2.2 x→x0时，函数f（x）的极限25

2.2.3 函数极限的性质27

2.3 无穷小与无穷大28

2.3.1 无穷小28

2.3.2 无穷大30

2.3.3 无穷小与无穷大的关系30

2.4 极限的四则运算法则31

2.5 极限存在准则与两个重要极限34

2.5.1 准则I（夹逼定理）35

2.5.2 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限36

2.5.3 两个重要极限37

2.6 无穷小的比较39

2.6.1 无穷小阶的定义39

2.6.2 等价无穷小的性质40

2.7 函数的连续性与间断点41

2.7.1 函数在一点的连续性41

2.7.2 区间上的连续函数42

2.7.3 函数的间断点43

2.8 连续函数的运算与初等函数的连续性45

2.8.1 连续函数的和、差、积、商的连续性45

2.8.2 反函数的连续性45

2.8.3 复合函数的连续性45

2.8.4 初等函数的连续性46

2.9 闭区间上连续函数的性质47

2.9.1 最大值与最小值定理与有界性定理47

2.9.2 零点定理与介值定理48

习题250

阅读材料2认识无限54

第3章 导数与微分56

3.1 导数的概念56

3.1.1 引例56

3.1.2 导数的定义57

3.1.3 导数的几何意义59

3.1.4 函数的可导性与连续性的关系60

3.2 基本初等函数的导数公式60

3.2.1 常函数的导数60

3.2.2 幂函数的导数60

3.2.3 指数函数的导数61

3.2.4 对数函数的导数61

3.2.5 三角函数的导数61

3.2.6 反三角函数的导数62

3.3 函数的求导法则62

3.3.1 函数和、差、积、商的求导法则62

3.3.2 反函数的导数64

3.3.3 复合函数的求导法则65

3.4 高阶导数67

3.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数69

3.5.1 隐函数的导数69

3.5.2 由参数方程所确定的函数的导数71

3.6 函数的微分72

3.6.1 微分的定义72

3.6.2 微分的几何意义74

3.6.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则74

3.6.4 函数的近似计算75

习题376

阅读材料3 微积分的创立79

第4章 微分中值定理与导数的应用81

4.1 微分中值定理81

4.1.1 罗尔定理81

4.1.2 拉格朗日中值定理82

4.1.3 柯西中值定理85

4.2 洛必达法则86

4.2.1 0/0/型未定式86

4.2.2 ∞/∞型未定式88

4.2.3 其他类型未定式88

4.3 函数单调性的判别法90

4.3.1 函数单调的必要条件90

4.3.2 函数单调性的判别法90

4.4 函数的极值与最值92

4.4.1 极值92

4.4.2 最大值和最小值95

4.5 曲线的凹凸性与拐点96

4.5.1 曲线凹凸性的定义96

4.5.2 曲线凹凸性的判别法97

4.5.3 拐点98

4.6 函数图形99

4.6.1 渐近线99

4.6.2 函数图形的描绘101

习题4103

阅读材料4 牛顿106

第5章 不定积分107

5.1 不定积分的概念与性质107

5.1.1 原函数和不定积分的定义107

5.1.2 不定积分的几何意义108

5.1.3 不定积分的性质108

5.1.4 基本积分表109

5.2 换元积分法111

5.2.1 第一类换元法111

5.2.2 第二类换元法116

5.3 分部积分法119

5.4 几种特殊类型函数的积分122

5.4.1 有理函数的不定积分122

5.4.2 三角函数有理式的积分125

5.4.3 简单根式的积分126

习题5127

阅读材料5莱布尼茨129

第6章 定积分及其应用131

6.1 定积分的概念与性质131

6.1.1 定积分问题举例131

6.1.2 定积分的定义133

6.1.3 定积分的几何意义134

6.1.4 定积分的性质136

6.2 微积分基本公式138

6.2.1 积分上限的函数138

6.2.2 牛顿-莱布尼茨公式140

6.3 定积分的换元积分法与分部积分法141

6.3.1 定积分的换元积分法141

6.3.2 定积分的分部积分法144

6.4 广义积分145

6.4.1 无穷区间上的广义积分145

6.4.2 无界函数的广义积分147

6.5 定积分的应用148

6.5.1 定积分的元素法148

6.5.2 平面图形的面积150

6.5.3 立体的体积153

6.5.4 平面曲线的弧长156

习题6157

阅读材料6微积分的发明权之争161

第7章 微分方程162

7.1 微分方程的基本概念162

7.1.1 微分方程的定义162

7.1.2 微分方程的解163

7.2 一阶微分方程164

7.2.1 可分离变量的微分方程164

7.2.2 齐次方程165

7.2.3 一阶线性微分方程166

7.3 可降阶的高阶微分方程168

7.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程168

7.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程168

7.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程169

7.4 二阶线性微分方程解的结构170

7.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构170

7.4.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构171

7.5 二阶线性常系数齐次微分方程172

7.6 二阶线性常系数非齐次微分方程174

习题7178

阅读材料7三次数学危机181

习题参考答案183

附录A常用初等代数公式与基本三角公式198

参考文献200