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第0章　预备知识1

0.1　集合1

0.1.1　集合的概念1

0.1.2　集合的运算2

0.1.3 集族、直积3

0.1.4 区间和邻域3

0.2　实数系4

0.2.1 实数系的完备性4

0.2.2　上界与下界5

0.2.3　上确界与下确界5

0.3　映射6

0.3.1　映射的概念6

0.3.2　单射　满射　一一映射6

0.3.3　逆映射　复合映射7

0.4　一元函数8

0.4.1 函数　分段函数8

0.4.2　函数的几个特性9

0.4.3　复合函数10

0.4.4　基本初等函数11

0.4.5　初等函数14

0.5　极坐标系15

0.5.1 极坐标系的基本概念15

0.5.2 曲线的极坐标方程16

0.5.3 极坐标与直角坐标的关系17

习题18

第1章　极限与连续21

1.1　数列的极限22

1.1.1　极限的思想方法22

1.1.2　数列的极限22

1.1.3　数列极限的几个定理26

习题1.127

1.2　函数的极限28

1.2.1 函数在无穷大处的极限28

1.2.2 函数在有限点处的极限30

习题1.234

1.3　极限的运算法则35

1.3.1 无穷小35

1.3.2 无穷小的运算性质36

1.3.3 无穷大37

1.3.4　极限的运算法则38

习题1.343

1.4　极限存在准则与两个重要极限44

1.4.1 夹逼准则44

1.4.2　单调有界收敛准则47

习题1.450

1.5　无穷小的比较51

习题1.553

1.6 函数的连续性与间断点54

1.6.1 函数的连续性54

1.6.2 函数的间断点56

1.6.3　连续函数的运算57

习题1.658

1.7　闭区间上连续函数的性质59

习题1.761

第1章总习题62

第2章　导数与微分64

2.1　导数的概念65

2.1.1 引例65

2.1.2　导数的定义66

2.1.3 用定义计算导数举例67

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系69

习题2.170

2.2　函数的求导法则71

2.2.1 导数的四则运算法则71

2.2.2　反函数的导数73

2.2.3　复合函数的导数74

习题2.278

2.3　高阶导数80

习题2.382

2.4 隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数83

2.4.1 隐函数的导数83

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数85

2.4.3　相关变化率87

习题2.489

2.5　函数的微分90

2.5.1　微分的概念90

2.5.2　基本初等函数的微分公式与微分运算法则92

2.5.3　微分的应用94

习题2.596

第2章总习题97

第3章　微分中值定理与导数的应用100

3.1　微分中值定理101

3.1.1 费马定理与罗尔中值定理101

3.1.2　拉格朗日中值定理103

3.1.3　柯西中值定理105

习题3.1106

3.2　洛必达法则107

3.2.1　0/0型未定式107

3.2.2　∞/∞型未定式109

3.2.3　其他类型的未定式110

习题3.2112

3.3　泰勒公式113

习题3.3118

3.4 函数的单调性与函数图形凹凸性的判别方法118

3.4.1 函数单调性的判别方法118

3.4.2 函数图形凹凸性的判别方法121

习题3.4124

3.5 函数的极值与最值125

3.5.1 函数的极值及其求法125

3.5.2 最大值与最小值问题128

习题3.5130

3.6　函数图形的描绘132

习题3.6134

3.7　弧微分与曲率135

3.7.1　弧微分135

3.7.2 曲率公式135

3.7.3 曲率圆与曲率半径137

习题3.7139

第3章总习题140

第4章　不定积分142

4.1　不定积分的概念与性质143

4.1.1　原函数与不定积分的概念143

4.1.2　基本积分表144

4.1.3　不定积分的性质145

习题4.1147

4.2　不定积分的换元积分法148

4.2.1 不定积分的第一类换元法148

4.2.2 不定积分的第二类换元法152

习题4.2155

4.3　不定积分的分部积分法156

习题4.3161

4.4　有理函数和三角函数有理式的积分162

4.4.1 有理函数的积分162

4.4.2　三角函数有理式的积分165

习题4.4166

第4章总习题167

第5章　定积分及其应用168

5.1　定积分概念与性质169

5.1.1 引例169

5.1.2　定积分的定义170

5.1.3 定积分的性质173

习题5.1175

5.2　微积分基本定理176

5.2.1　积分上限的函数及其导数176

5.2.2　牛顿-莱布尼兹公式177

习题5.2180

5.3　定积分的换元积分法与分部积分法181

5.3.1 定积分的换元积分法181

5.3.2　定积分的分部积分法185

习题5.3187

5.4　广义积分188

5.4.1 无穷限的广义积分188

5.4.2 无界函数的广义积分190

习题5.4192

5.5　定积分的几何应用193

5.5.1　定积分的微元法193

5.5.2 平面图形的面积194

5.5.3　体积197

5.5.4　平面曲线的弧长199

习题5.5202

5.6　定积分的物理应用203

5.6.1 变力沿直线所作的功203

5.6.2　水压力204

5.6.3 引力205

习题5.6206

第5章总习题207

第6章 向量代数与空间解析几何209

6.1 向量代数的基本概念210

6.1.1 空间直角坐标系210

6.1.2 向量与向量的表示211

6.1.3 向量的加法与数乘运算211

习题6.1216

6.2　向量的乘法运算216

6.2.1 向量的投影、方向余弦216

6.2.2 向量的数量积218

6.2.3　向量的向量积220

6.2.4　向量的混合积222

习题6.2222

6.3　平面及其方程223

6.3.1 平面的点法式方程223

6.3.2　平面的一般式方程224

6.3.3 平面的截距式方程225

6.3.4 平面与平面的位置关系225

习题6.3227

6.4　空间直线及其方程228

6.4.1 空间直线的点向式方程228

6.4.2 空间直线的参数式方程229

6.4.3 空间直线的一般式方程230

6.4.4 两条空间直线的夹角232

6.4.5 直线与平面的关系233

习题6.4234

6.5 曲面235

6.5.1　柱面236

6.5.2 旋转曲面237

6.5.3　二次曲面238

习题6.5242

6.6　空间曲线243

6.6.1 空间曲线及其方程243

6.6.2 空间曲线在坐标面上的投影246

习题6.6248

第6章总习题248

第7章　微积分学实验Ⅰ250

7.1 Mathematica软件简介250

7.1.1 Mathematica的启动与基本操作250

7.1.2　数值计算251

7.1.3　赋值与替换252

7.1.4　基本数学函数与代数式变换算符252

7.1.5 自定义函数253

7.1.6 表的运算254

7.1.7 图形绘制255

7.1.8 极限、求导、积分与极值256

7.1.9 求和运算、泰勒展开（幂级数展开）257

7.1.10　代数方程及微分方程求解258

7.1.11　数据拟合258

7.1.12　程序设计初步259

7.2　函数作图与模拟262

7.2.1 问题262

7.2.2 实验目的262

7.2.3　预备知识262

7.2.4 实验内容与要求263

7.2.5　操作提示263

习题7.2264

7.3　割圆术、生长模型264

7.3.1 问题264

7.3.2 实验目的265

7.3.3　预备知识265

7.3.4 实验内容与要求266

7.3.5　操作提示266

习题7.3267

7.4　陈酒出售的最佳时机问题267

7.4.1 问题267

7.4.2 实验目的267

7.4.3　预备知识267

7.4.4 实验内容与要求268

7.4.5　操作提示268

习题7.4269

7.5　泰勒展开与e的计算269

7.5.1 问题269

7.5.2 实验目的269

7.5.3　预备知识269

7.5.4 实验内容与要求271

7.5.5　操作提示271

习题7.5271

7.6　方程近似解的求法272

7.6.1 问题272

7.6.2 实验目的272

7.6.3　预备知识272

7.6.4 实验内容与要求274

7.6.5　操作提示274

习题7.6275

7.7　定积分的近似计算276

7.7.1 问题276

7.7.2 实验目的276

7.7.3　预备知识276

7.7.4 实验内容与要求279

7.7.5　操作提示279

习题7.7279

附录A　几种常用的曲线280

附录B　积分表283

参考文献293

习题答案与提示294