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第一篇 函数与极限1

第一章 函数1

§1 变量1

1．1 实数和实数的连续性1

1．2 常量与变量2

1．3 变量的变域2

§2 函数4

2．1 函数4

2．3 函数的例子5

2．2 函数的图形5

§3 函数的几种特性9

3．1 函数的奇偶性9

3．2 函数的单调性10

3．3 函数的有界性11

3．4 函数的周期性12

§4 函数的运算和映射14

4．1 函数的运算14

4．2 映射16

§5 初等函数20

5．1 基本初等函数20

5．2 初等函数24

5．3 双曲函数25

第二章 数列极限与函数极限28

§1 数列极限28

1．1 数列28

1．2 数列极限28

1．3 无穷大量35

§2 收敛数列的性质和运算38

2．1 收敛数列的性质38

2．2 数列极限的四则运算41

§3 数列收敛的判别法45

3．1 夹挤定理46

3．2 单调有界原理48

3．3 夹挤数列的构造与上、下极限51

3．4 Cauchy收敛准则54

§4 函数极限58

4．1 自变量的变化过程和函数的变化趋势59

4．2 函数极限59

4．3 函数极限的例子63

§5 函数极限的性质和运算66

5．1 函数极限的性质66

5．2 函数极限的四则运算68

6．1 夹挤定理71

§6 函数极限存在的判别法71

6．2 单调有界原理73

6．3 Cauchy准则74

§7 无穷小的阶和无穷大的阶的比较77

7．1 无穷小量阶的比较77

7．2 无穷大量阶的比较78

7．3 无穷小的替换79

1．1 间断的概念84

第三章 连续函数84

§1 间断和连续84

1．2 间断产生的原因及其分类86

1．3 连续的概念87

§2 连续函数的运算和初等函数的连续性92

2．1 连续函数的运算92

2．2 初等函数的连续性93

§3 闭区间上连续函数的基本性质96

§1 导数102

1．1 导数的定义102

第二篇 微分学102

第四章 导数与微分102

1．2 导数的几何意义105

1．3 导数的物理意义107

1．4 可导(微)函数109

§2 求导法则112

2．1 导数的四则运算112

2．2 反函数的导数115

2．3 复合函数的导数117

2．4 初等函数的求导公式119

3．1 微分的概念122

§3 微分122

3．2 微分的运算124

3．3 微分在近似计算中的应用125

§4 累次微分法129

4．1 高阶导数129

4．2 Leibniz公式130

4．3 高阶微分132

§5 隐函数及参数方程的微分法134

5．1 隐函数的微分法134

5．2 参数方程表示的函数的微分法135

1．1 极值点的概念139

第五章 中值定理与Taylor公式139

§1 Lagrange中值定理139

1．2 光滑曲线的一个几何性质140

1．3 Lagrange中值定理141

1．4 中值定理的物理意义143

1．5 中值定理的推论144

1．6 函数单调性的判别145

§2 Cauchy中值定理、L Hospital法则151

2．1 Cauchy中值定理151

2．2 L Hospital法则153

3．1 函数在可微点附近的近似多项式159

§3 Taylor公式159

3．2 多项式函数的Taylor公式160

3．3 Taylor公式161

3．4 Maclaurin公式164

3．5 Taylor公式应用举例166

第六章 微分学的应用172

§1 最大最小值问题172

1．1 函数的极值和求法172

1．2 最大值和最小值的求法177

1．3 极值应用举例179

2．1 曲线的交角184

§2 微分学在几何上的应用184

2．2 曲线的凹凸与拐点186

2．3 曲线的渐近线189

2．4 曲线的曲率与曲率圆191

2．5 函数作图197

第三篇 积分学203

第七章 不定积分203

§1 不定积分203

1．1 不定积分的概念203

1．2 不定积分的基本公式205

1．3 不定积分的线性性质206

§2 换元积分法和分部积分法208

2．1 换元积分法208

2．2 分部积分法213

§3 有理函数的积分217

3．1 最简分式的积分218

3．2 有理函数的最简分式分解219

3．3 三角函数的有理式的积分222

3．4 某些无理函数的积分225

1．1 曲边梯形的面积234

第八章 定积分234

§1 求和问题234

1．2 变力做功235

1．3 直线上变速运动的路程236

§2 定积分的概念236

2．1 定积分的定义236

2．2 可积性条件237

2．3 定积分的几何意义238

3．1 定积分的基本性质239

§3 基本性质和中值定理239

3．2 定积分的估值法242

3．3 积分中值定理244

§4 微积分学基本定理248

4．1 原函数存在定理249

4．2 微积分学的基本定理250

§5 分部积分法和换元积分法254

5．1 换元积分法254

5．2 分部积分法257

1．2 关于微元法的命题262

1．1 区间函数的可加性262

§1 微元法262

第九章 定积分应用262

1．3 用微元法解题的步骤264

§2 面积问题267

2．1 曲边梯形的面积267

2．2 由参数方程给出的封闭曲线所围图形的面积269

2．3 极坐标下平面图形的面积271

2．4 旋转曲面的面积272

§3 体积问题275

3．1 旋转体的体积275

3．2 平行截面面积为已知的立体的体积276

§4 曲线的弧长279

4．1 直角坐标系中曲线的弧长279

4．2 参数方程给出的曲线的弧长280

4．3 极坐标系中曲线的弧长280

§5 定积分在物理上的应用282

5．1 平面图形的质心282

5．2 功的计算285

5．3 流体压力和引力287

5．4 平均值289

答案与提示292