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第一章 函数与极限1

1．1 函数1

一、函数概念及函数的几种特性1

二、反函数、基本初等函数9

三、复合函数与初等函数13

习题1．114

1．2 函数的极限17

一、数列的极限17

二、函数的极限21

三、函数极限的性质25

习题1．226

1．3 无穷小与无穷大27

一、无穷小27

二、无穷大28

三、无穷小与无穷大的关系29

习题1．329

1．4 极限的运算30

一、无穷小的运算法则30

二、极限运算法则31

三、极限存在准则与两个重要极限34

四、无穷小的比较39

习题1．441

1．5 函数的连续性42

一、函数连续性概念42

二、函数的间断点45

三、初等函数的连续性47

习题1．550

1．6 闭区间上连续函数的性质51

习题1．653

第二章 导数与微分54

2．1 导数的概念54

一、引例54

二、导数的定义56

三、导数的几何意义59

四、可导性与连续性的关系60

习题2．161

2．2 几个基本初等函数的导数62

一、常数的导数62

二、幂函数的导数62

三、正弦、余弦函数的导数63

四、指数函数的导数63

五、对数函数的导数64

习题2．265

2．3 导数的运算法则与基本导数公式65

一、函数和、差、积、商的导数65

二、反函数的导数68

三、复合函数的导数70

四、基本导数公式与函数的求导法则73

习题2．373

2．4 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数75

一、隐函数的导数75

二、对数求导法76

三、由参数方程所确定的函数的导数77

习题2．479

2．5 高阶导数79

习题2．582

2．6 函数的微分83

一、微分的概念83

二、微分的几何意义86

三、微分的运算与微分形式的不变性86

四、微分在近似计算中的应用88

习题2．690

第三章 微分中值定理与导数的应用91

3．1 微分中值定理91

一、罗尔定理91

二、拉格朗日中值定理93

三、柯西中值定理95

习题3．195

3．2 罗必达法则96

一、0/0型未定式的极限96

二、∞/∞型未定式的极限99

三、其他类型的未定式100

习题3．2102

3．3 函数的单调增减性及其判别法103

习题3．3105

3．4 函数的极值及其求法106

一、极值的定义106

二、极值存在的必要条件107

三、极值存在的第一充分条件108

四、极值存在的第二充分条件109

习题3．4111

3．5 最大值、最小值及其应用111

习题3．5115

3．6 曲线的凹凸与拐点116

习题3．6119

3．7 函数作图119

习题3．7123

3．8 泰勒公式与泰勒级数123

一、泰勒公式123

二、泰勒级数127

习题3．8130

第四章 不定积分132

4．1 不定积分的概念与性质132

一、原函数与不定积分的概念132

二、基本积分表135

三、不定积分的性质136

习题4．1138

4．2 换元积分法140

一、第一换元积分法140

二、第二换元积分法145

习题4．2150

4．3 分部积分法151

习题4．3155

4．4 几种特殊类型函数的积分156

一、有理函数的积分156

二、三角函数有理式的积分159

三、简单无理函数的积分161

习题4．4162

4．5 积分表的使用163

第五章 定积分165

5．1 定积分的概念165

一、定积分概念的引入——两个实例165

二、定积分的定义168

三、定积分的几何意义170

习题5．1171

5．2 定积分的性质171

习题5．2175

5．3 微积分基本定理175

习题5．3179

5．4 定积分的基本积分法180

一、定积分的换元积分法180

二、定积分的分部积分法183

习题5．4185

5．5 定积分的应用186

一、定积分的微元法186

二、定积分的几何应用187

三、定积分的物理应用194

习题5．5196

5．6 广义积分197

一、无穷区间上的广义积分197

二、有无穷间断点的广义积分199

三、Г-函数与В-函数200

1．Г-函数200

2．В-函数202

习题5．6204

第六章 空间解析几何与向量代数205

6．1 空间直角坐标系205

一、空间直角坐标系205

二、空间两点间的距离206

习题6．1207

6．2 向量及其线性运算208

一、向量的概念208

二、向量的线性运算209

三、向量的坐标表示212

习题6．2216

6．3 向量的数量积与向量积217

一、两个向量的数量积217

二、两个向量的向量积219

习题6．3221

6．4 平面与空间直线222

一、平面方程222

二、空间直线227

习题6．4231

6．5 曲面与空间曲线232

一、曲面232

二、空间曲线237

习题6．5240

6．6 二次曲面241

一、椭球面241

二、抛物面243

三、双曲面244

习题6．6245

第七章 多元函数微分学247

7．1 多元函数的基本概念247

一、区域247

二、多元函数的定义248

习题7．1251

7．2 二元函数的极限与连续251

一、二元函数的极限251

二、二元函数的连续性253

习题7．2256

7．3 偏导数与全微分256

一、偏导数概念256

二、全微分概念262

习题7．3267

7．4 多元复合函数微分法268

一、复合函数的求导法则268

二、隐函数微分法274

习题7．4277

7．5 偏导数的几何应用279

一、空间曲线的切线与法平面279

二、曲面的切平面与法线281

习题7．5284

7．6 多元函数的极值284

一、极值的定义284

二、极值的求法285

三、最大值与最小值287

四、条件极值、拉格朗日乘数法289

五、最小二乘法292

习题7．6296

第八章 二重积分298

8．1 二重积分的概念与性质298

一、二重积分的概念298

二、二重积分的性质301

习题8．1303

8．2 二重积分的计算304

一、直角坐标系下二重积分的计算304

二、极坐标系下二重积分的计算312

习题8．2317

8．3 二重积分的应用320

一、立体的体积320

二、曲面面积322

习题8．3325

第九章 微分方程327

9．1 微分方程的基本概念327

一、引例327

二、微分方程的一般概念328

习题9．1329

9．2 可分离变量的一阶微分方程330

习题9．2333

9．3 一阶线性微分方程333

一、线性齐次方程与线性非齐次方程333

二、贝努里方程339

习题9．3341

9．4 可降阶的高阶微分方程341

一、y(n)=f(x)型的高阶微分方程342

二、y″＝f(x，y′)型的微分方程342

三、y″＝f(y，y′)型的微分方程344

习题9．4345

9．5 二阶常系数线性微分方程346

一、通解的结构346

二、二阶常系数线性齐次微分方程通解的求法348

三、二阶常系数线性非齐次微分方程352

习题9．5356

第十章 无穷级数358

10．1 常数项级数的概念与性质358

一、常数项级数的概念358

二、无穷级数的基本性质361

习题10．1364

10．2 数项级数敛散性的判别法365

一、正项级数及其敛散性的判别法365

二、交错级数及其敛散性的判别法372

三、绝对收敛与条件收敛373

习题10．2376

10．3 幂级数378

一、函数项级数的一般概念378

二、幂级数及其收敛区间379

三、幂级数的运算383

习题10．3385

10．4 函数展开成幂级数386

一、函数的幂级数展开式386

二、函数展开成幂级数387

习题10．4391

10．5 幂级数在近似计算中的应用391

习题10．5395

附录 积分表396

习题答案409